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| Aufgabe | Seien R,S kommutative Ringe und j : R->S ein Ringhomomorphismus.
Gegeben seien Ideale I in R und J in S. Betrachten wir die induzierte Abbildung
j': R/I -> S/J, [x] |-> [j(x)]:
Unter welchen Bedingungen an R,S,j,I,J ist j' ein wohldefinierter Ringhomomorphismus? |
Hallo,
ich sitze an dieser Aufgabe und vermute das ich zu einfach denke.
Meine Überlegung ist folgende:
Wäre I trivial, gäbe es einen bijektiven Ringhomomorphismus zwischen R und R/I, mit j kommt man von R nach S und da reicht der surjektive Ringhomomorphismus von S nach S/J aus. Die Verkettung dieser Abbildunen wäre dann doch genau der gewünschte Ringhomomorphismus, oder vergesse ich da etwas?
Edit: j sollte auch surjektiv sein... hatte Epimorphismus gelesen
Gruß
Mathezwerg
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moin Mathezwerg,
Es stimmt zwar, wenn $I$ das Nullideal ist, bist du fertig.
Allerdings gibt es noch eine deutlich geringere Forderung, mit der man auch auskommt.
Überlege dir mal, was du für eine Bedingung an $j(I)$ stellen musst.
Hast du das, kannst du nicht nur eine "wenn, dann" sondern eine "genau dann wenn" Bedingung basteln.
lg
Schadow
PS: j soll erst im Teil b) surjektiv sein, im Teil a) geht es nur um einen allgemeinen Homomorphismus.^^
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