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Hi Leutz,
habe mal eine kleine Frage zu einer Aufgabe.
Aufgabe:
Es sei [mm] \IR [/mm] = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] das direkte Produkt des Rings [mm] \IZ [/mm] mit sich selbst.
Man bestimme die Anzahl der Ringhomomorphismen [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR \rightarrow \IZ
[/mm]
Ich weiss ehrlich gesagt nicht, wie das gehen soll.
Vielleicht liegt es daran, dass ich nicht weiß, was ein Ringhomomorphismus ist 
big THX
Gruss
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Hi,
Erst einmal zur Definition. Auf einem Ring hast du ja die Verknüpfungen "+" und "*" und du hast eine Abbildung f: R->R, wenn für f gilt f(x+y) = f(x) + f(y) und f(ax) = f(a)f(x) Dann ist das ein Ringhom.
Es ist also in etwa die Definition die du auch bei linearen Abbildung hast, nur für Ringe, nicht für Vektorräume (sie stimmt für + überein, für * ist sie etwas anders (lag am tippfehler tut mir sehr leid)
Zum einen ist natürlich die identische Abbildung homomorph, wenn du eine Abbildung definierst von Z² nach R, dann ist die komponentenweise Abbildung auch homomorph. also (x,y) --> x usw.
Jetzt überleg dir mal, welche noch homomorph sind.
Viel Erfolg
Britta
sorry, hatte einen tippfehler drin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo zusammen!
> Erst einmal zur Definition. Auf einem Ring hast du ja die
> Verknüpfungen "+" und "*" und du hast eine Abbildung f:
> R->R, wenn für f gilt f(x+y) = f(x) + f(y) und f(ax) =
> af(x) Dann ist das ein Ringhom.
Du meinst: $f(ax) =f(a)f(x)$.
> Es ist also die Definition die du auch bei linearen
> Abbildung hast, nur für Ringe, nicht für Vektorräume.
Nicht ganz...
> Zum einen ist natürlich die identische Abbildung homomorph,
> wenn du eine Abbildung definierst von Z² nach R, dann ist
> die komponentenweise Abbildung auch homomorph. also (x,y)
> --> x usw.
Genau, die beiden Projektionen
[mm] $\pi_1 [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IZ \times \IZ & \to & \IZ \\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \end{array}$
[/mm]
und
[mm] $\pi_2 [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IZ \times \IZ & \to & \IZ \\[5pt] (x,y) & \mapsto & y \end{array}$
[/mm]
sind auf jeden Fall Ringhomomorphismen.
Die Frage ist jetzt, ob es weitere gibt.
Eine weitere ist klar: Der Nullhomomorphismus, der alles auf $0 [mm] \in \IZ$ [/mm] schickt.
Frage jetzt an den Aufgabensteller: Kann es weitere Ringhomomorphismen geben?
Viele Grüße
Julius
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Hi, erstmal Danke fuer eure Erklärungen...
Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es keinen weiteren
Ringhomomorphismus mehr geben.
Ich dachte erst, eine Abbildung von einem Tupel auf eine Konstante [mm] \not= [/mm] 0
würde eventuell gehen,
aber Ringhomomorphismen muessen surjektiv sein (ausser Nullabbildung)
oder??
Gruss,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Do 25.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Hi, erstmal Danke fuer eure Erklärungen...
> Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es keinen
> weiteren
> Ringhomomorphismus mehr geben.
Naja, das solltest du eigentlich zeigen.
> Ich dachte erst, eine Abbildung von einem Tupel auf eine
> Konstante [mm]\not=[/mm] 0
> würde eventuell gehen,
Nein, die $0$ muss immer auf die $0$ abgebildet werden...
> aber Ringhomomorphismen muessen surjektiv sein (ausser
> Nullabbildung)
> oder??
Nein.
Also, wir haben für alle $m [mm] \in \IZ$:
[/mm]
[mm] $\varphi(m,0) \cdot \varphi(1,0) [/mm] = [mm] \varphi(m,0) [/mm] =m [mm] \cdot \varphi(1,0)$.
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $\varphi(1,0)=0$ [/mm] oder(aus der Nullteilerfreiheit von [mm] $\IZ$):
[/mm]
[mm] $\varphi(m,0)=m$.
[/mm]
Ähnlich argumentiert man, dass für $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
[mm] $\varphi(0,n)=0$ [/mm] oder [mm] $\varphi(0,n)=n$ [/mm] gelten muss.
Nun ist aber [mm] $\varphi$ [/mm] wegen
[mm] $\varphi(m,n)=\varphi(m,0) [/mm] + [mm] \varphi(0,n)$
[/mm]
eindeutig durch die Angabe von [mm] $\varphi(m,0)$ [/mm] und [mm] $\varphi(0,n)$ [/mm] für alle [mm] $m,n\in \IZ$ [/mm] bestimmt.
Neben den bereits beschriebenen Ringhomomorphismen [mm] $\varphi:\IZ \times \IZ \to \IZ$ [/mm] verbleibt daher die Möglichkeit
[mm] $\varphi(m,n) [/mm] = m+n$.
Dies ist aber wegen:
[mm] $\varphi(1 \cdot [/mm] 1,1 [mm] \cdot [/mm] 1) = [mm] \varphi(1,1) [/mm] = 1+1 = 2 [mm] \ne [/mm] 4 = 2+2= [mm] \varphi(1,1) \cdot \varphi(1,1)$
[/mm]
kein Ringhomomorphismus.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Do 25.08.2005 | | Autor: | trinkMilch |
Jo Danke,
nach langem ueberlegen habe ich nun verstanden, warum es nur 3 Ringhom. gibt.
Ich hatte immer Probleme einzusehen, warum eine Komponente des 2er-Tupels auf 0 abgebildet werden muss. (oder halt auf m+n .p )
Ich hatte z.B. gedacht , wenn man z.B. ein Tupel (x,y) [mm] \in (\IZ x\IZ) [/mm] hat,
koennte man z.B. eine Abbildung: [mm] \phi((x,y)) [/mm] = x+y/y
definieren, dan wird alles auf x+1 abgebildet.
Aber solche Sachen sind ja dann laut Definition keine Ringhom.
Vielen Dank nochmal
Gruss, Marc
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