Ringerweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 23.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei R die Teilmenge der Polynome
von S = K[X], für welche der Koeffizient von X null ist. Zeigen Sie,
dass S [mm] \supset [/mm] R eine ganze Ringerweiterung ist. |
Hallo Leute,
eine ganze Ringerweiterung bedeutet doch, dass jedes x [mm] \in [/mm] R ganz in S ist, oder?!
Wenn jetzt aber die Koeffizienten von X [mm] \in [/mm] R eh null sind, spannt R nicht lediglich den trivialen Ring auf?! - Sind also nicht alle Ringe Ringerweiterungen über R?!?
Viele Grüße
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei K ein Körper, sei R die Teilmenge der Polynome
> von S = K[X], für welche der Koeffizient von X null ist.
> Zeigen Sie,
> dass S [mm]\supset[/mm] R eine ganze Ringerweiterung ist.
> eine ganze Ringerweiterung bedeutet doch, dass jedes x [mm]\in[/mm]
> R ganz in S ist, oder?!
Für die Elemente in R oder S sollte man besser Namen wie f oder g wählen. (Bei dir ist x ein Polynom in [der Unbestimmten] X.) Die Elemente von R sind natürlich ganz über S, weil R [mm] \subset [/mm] S. Gefragt war aber, ob die Elemente von S ganz über R sind.
Für eine befriedigende Antwort wäre es gut zu wissen, wie bei euch 'ganz über' definiert ist. Es gibt mehrere äquivalente Definitionen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
