Ringe, Nullteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Habe Schwierigkeiten bei einem Beweis, vielleicht kann mir jemand helfen.
Es geht um folgendes:
Es sei R ein kommutativer Ring mit Betrag von R ist kleiner unendlich.
Es ist zu zeigen: Falls a [mm] \inR [/mm] kein Nullteiler ist, so ist a eine Einheit. Insbesondere ist also jeder endliche, nullteilerfreie, kommutative Ring ein Körper;
Vielleicht hat ja jemand eine Idee!
Vielen Dank
Kudi
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Hallo Kudi,
ich würde es so machen:
sei a [mm] \inR [/mm] kein Nullteiler, seien x,y [mm] \in [/mm] R mit ax=ay
==>0=ax-ay=a(x-y) ==> x=y (denn a ist kein Nullteiler).
Also gilt in (R \ {0},*) die Kürzungsregel. Zusammen mit der Endlichkeit von R folgt, daß (R \ {0},*) eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 07.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Zunächst mal vielen Dank für deine Antwort; kann aber deinen Beweis nicht nachvollziehen. Was ist das für eine Kürzungsregel, von der du sprichst? Kannst du mir deine Idee vielleicht nochmal genauer erläutern?... Wäre voll super!
Viele Grüße
Kudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Kudi!
Angela hat gezeigt, dass für einen Nicht-Nullteiler $a$ die Kürzungsregel gilt:
(*) $ax=ay [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=y$.
Betrachte nun für $a$ den folgenden Gruppenhomomorphismus
[mm] $\varphi_a: \begin{array}{ccc} (R,+) & \to & (R,+) \\[5pt] x & \mapsto & ax \end{array} [/mm] .$
(Überprüfe bitte selbst, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.)
Nach (*) ist [mm] $\varphi_a$ [/mm] injektiv, also auch surjektiv. Dies bedeutet:
Es gibt ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $1=\varphi_a(x) [/mm] = ax$.
Somit ist $a$ eine Einheit.
Viele Grüße
Julius
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