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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 30.11.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Man veri ziere folgende Aussagen.
(a) Es sei (R;+; *) ein Ring. Man beweise, dass
c(a - b) = ca - cb
[mm] \forall [/mm] a; b; c [mm] \in \IR [/mm] gilt.
b) Es sei (K;+; *) ein Korper, a [mm] \in [/mm] K und b; c; d [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash\{0\} [/mm] . Man zeige, dass
[mm] \bruch {\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}} [/mm] = [mm] \bruch{ad}{bc}
[/mm]
gilt und beide Ausdrücke wohlde niert sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
hab nochmal n Problem mit 2 Beweisaufgaben :(
Sind beides ja eigentlich trivial, aber ich weiss nicht wie ich an die Sache rangehn soll ..
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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moin s1mn,
Was genau hast du zum Beweisen zur Verfügung?
Kennst du die Ringaxiome, die Körperaxiome?
Die (a) riecht ja sehr stark nach einem ganz bestimmten Axiom, schreib es dir so um, dass du dieses Axiom benutzen kannst.
Auch bei der (b) stellt sich die Frage, was genau du schon über Inverse weißt und was du benutzen darfst.
Wenn du keine Idee hast wäre der erste Schritt das erstmal in der Form:
[mm] $(ab^{-1})*(cd^{-1})^{-1}$
[/mm]
zu schreiben.
Dann wendest du Gesetze über Inverse an, die du hoffentlich schon kennst.
Falls du noch keine kennst so überleg dir mal folgendes:
Was ist [mm] $(ab)^{-1}$, [/mm] also finde ein $c [mm] \in [/mm] K$ mit $(ab)*c = 1$ und möglichst so, dass in c keine Klammern auftauchen.
Überleg dir weiterhin, was [mm] $(a^{-1})^{-1}$ [/mm] ist.
Wenn du die beiden hast dürfte die (b) keine all zu großen Probleme mehr machen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 30.11.2011 | | Autor: | s1mn |
Also wäre dieser Beweis bei der a) richtig ?
Das Axiom, das ich benutzen soll, ist das Distributivgesetz ?
Und da dieses nur auf "+" definiert ist, muss ichs auch erst umschreiben ?
c(a-b) = c(a+(-b)) = (ca + c(-b)) = ca + c(-b) = ca + (-cb) = ca - cb [mm] \Box
[/mm]
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Wenn du bereits weißt, dass $c(-b) = -cb$ und die entsprechenden anderen Sachen, die du über das Minus benutzt hast, so ist dieser Beweis vollkommen in Ordnung.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 Sa 03.12.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei (K;+; +) ein Körper, a [mm] \in [/mm] K und b; c; d [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash [/mm] {0}. Man zeige, dass [mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}} [/mm] = [mm] \bruch{ad}{bd}
[/mm]
gilt und beide Ausdrücke wohlde niert sind. |
So hab inzwischen beide Aufgaben gelöst.
Die Frage ist nur noch, wie ich bei der b) zeigen soll, dass beide Ausdrücke wohl definiert sind.
Mein Tutor hat iwann mal gemeint, dass es auch reicht, wenn man zur Wohldefiniertheit n Sätzlein dazuschreibt.
Reicht das in dem Beispiel ?
Also würde die Antwort dazu so aussehen:
Beide Ausdrücke sind wohldefiniert, da b,c,d jeweils im Nenner vorkommen und definitionsgemäß [mm] \not= [/mm] 0 sind und somit nicht durch 0 geteilt wird !
Also es geht um die Aufgabenstellung oben.
Die a) hab ich so gelöst:
c(a-b) = c(a+(-b)) = ca + c(-b) = ca + (-cb) = ca - cb
die b) so:
[mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}} [/mm] = [mm] (a*b^{-1}) [/mm] * (c * [mm] d^{-1})^{-1} [/mm] = (a * [mm] b^{-1} [/mm] * [mm] c^{-1} [/mm] * [mm] (d^{-1})^{-1} [/mm] = ( a * [mm] b^{-1} [/mm] * [mm] c^{-1} [/mm] * d) = ( a * d ) * ( [mm] b^{-1} [/mm] * [mm] c^{-1} [/mm] ) = ( a * d ) * ( b * c [mm] )^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{ad}{bd}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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