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| Aufgabe | Sei [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] ein kommutativer Ring mit 1.
Bezeichne 0 das [mm] \oplus [/mm] -neutrale Element in R und -a das jeweils [mm] \oplus [/mm] -inverse Element zu einem a [mm] \in [/mm] R.
Zeigen Sie, dass dann für beliebige a [mm] \in [/mm] R, die Gleichung (-1) [mm] \cdot [/mm] (-a) = a erfüllt ist. Kommentieren Sie dabei, welche Ring-Eigenschaften in den einzelnen Schritten genutzt werden, d.h. (G1) bis (G3) der Gruppe [mm] (R,\oplus), [/mm] (G1) und (G2) des Monoids [mm] (R,\odot), [/mm] Kommutativitöt von [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot [/mm] oder das Distributivgesetzt |
Hier bin ich noch nicht sehr weit gekommen, mein erster Gedanke war, dass ja trotzt allem [mm] (\cdot [/mm] 1) das neutrale Element wäre, und im negativen Bereich [mm] (\cdot [/mm] -1), so dass:
(-1) [mm] \cdot [/mm] (-a) = a | (G2)
(-1 [mm] \cdot [/mm] -1) [mm] \cdot [/mm] (-a [mm] \cdot [/mm] a) = a
1 [mm] \cdot [/mm] a = a | (G2)
a = a
Aber das hab ich dann mehr oder minder verworfen, weil das neutrale Element auch bei den negativen Zahlen wohl [mm] (\cdot [/mm] 1) bleibt. Leider fehlt mir ledigliche Idee, hat jemand einen Tipp? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 01.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo pathetic,
> Hier bin ich noch nicht sehr weit gekommen, mein erster
> Gedanke war, dass ja trotzt allem [mm](\cdot[/mm] 1) das neutrale
> Element wäre, und im negativen Bereich [mm](\cdot[/mm] -1), so
Das ist i. A. falsch; denn dazu müßte [mm]1=-1[/mm] gelten
> dass:
>
> (-1) [mm]\cdot[/mm] (-a) = a | (G2)
Hoppla, hier würdest Du das voraussetzen, was Du zeigen sollst!
Du könntest z.B. so anfangen: [mm]-1 \odot -a =-1 \odot -a +0 =-1 \odot -a +(1 \odot 0)[/mm]
und dann 0 durch [mm]-a +a[/mm] ersetzen usw.
Hoffe das hilft
zahlenspieler
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