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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Habe Probleme bei einem Beweis:
Sei R ein kommutativer nullteilerfreier Ring. Man muss die Äquivalenz der folgenden Aussagen beweisen:
(i) R ist ein lokaler Ring.
(ii) Die Menge der Nichteinheiten ist ein Ideal von R.
(iii) Es gibt ein Ideal M von R, M [mm] \not=R, [/mm] so dass gilt: [mm] R\R^{x} \subseteqM.
[/mm]
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man da vorgeht?
Habe keine Ahnung, wie man da rangeht!
Danke!!
Euer Kudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mo 13.06.2005 | | Autor: | NECO |
Ein Ring R mit 1 heißt lokaler Ring, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt
1)R besitzt genau ein maximales Linksideal.
2)R besitzt genau ein maximales Rechtsideal
3)1 ≠ 0 und jede Summe von zwei Nichteinheiten ist eine
Nichteinheit
4)1 ≠ 0 und für jedes Ringelement x ist wenigstens eins der Elemente x oder 1-x eine Einheit.
5)Wenn eine endliche Summe von Ringelementen eine Einheit ist, dann ist wenigstens ein Summand eine Einheit (insbesondere ist die leere Summe keine Einheit, also folgt daraus 1 ≠ 0).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die dritte Bedingung verstehe ich so nicht. Fehlt das was? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich zeige dir mal die Äquivalenz der ersten beiden Bedingungen:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Es sei $m$ das nach Voraussetzung eindeutige maximale Ideal von $R$ und $I$ die Menge der Nichteinheiten. Dann gilt trivialerweise: $m [mm] \subset [/mm] I$. Andererseits ist für jede Nichteinheit $x [mm] \in [/mm] I$ $(x)=Rx$ von $R$ verschieden und liegt nach dem Zornschen Lemma in einem maximalen Ideal, also in $m$. Daraus folgt auch $I [mm] \subset [/mm] m$, also die Behauptung-
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
trivial, da jedes von $R$ verschiedene Ideal nur aus Nichteinheiten besteht und damit die Menge der Nichteinheiten, wenn sie (wie hier nach Voraussetzung) ein Ideal ist, automatisch ein maximales Ideal ist und zugleich das einzige maximale Ideal
Viele Grüße
Julius
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