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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Prüfen Sie nach,ob die folgenden Mengen T mi den angegebenen Verknüpfungen Ringe oder sogar Körper sind :
T:= {a+b [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] I a,b [mm] \in\IZ [/mm] }
mit der üblichen Addition und Multiplikatition |
Hey Leute
ich denke ich komme ganz gut klar mit der Aufgabe ,
eine kleine Unsicherheit hätte ich :
DieMenge ist mit Z bezeichnet als gilt unter Anderem für einen Ring :
+: T X T [mm] \to [/mm] T , ( a,b) [mm] \in \mapsto [/mm] a + b
a in der Aufgabe ist ja )(a) und b ist ja ( b* [mm] \wurzel[2]{2})
[/mm]
Da doch [mm] \wurzel[2]{2} \not\in \IZ [/mm]
aber doch nach Z X Z b auch in [mm] \IZ [/mm] liegen muss
kann es doch kein Ring sein oder ??
hab ich vielleicht ein ganz großes Verständnisproblem was Z X Z betrifft
ich dachte bei Z X Z muss a in Z und b in Z liegen
oder z.B bei D X F muss a in D und b in F liegen
Ich finde manchen Definitionen fehlet Exaktheit / Genauigkeit
habt Dank für Rat
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Hallo Thomas,
> Prüfen Sie nach,ob die folgenden Mengen T mi den
> angegebenen Verknüpfungen Ringe oder sogar Körper sind :
> T:= [mm] \{a+b\wurzel{2} \mid a,b \in\IZ \} [/mm]
>
> mit der üblichen Addition und Multiplikatition
>
> Hey Leute
>
> ich denke ich komme ganz gut klar mit der Aufgabe ,
>
> eine kleine Unsicherheit hätte ich :
>
> DieMenge ist mit Z bezeichnet als gilt unter Anderem für einen Ring :
was bedeutet dieser Satz?
>
> +: T X T [mm]\to[/mm] T , ( a,b) [mm]\in \mapsto[/mm] a + b
>
> a in der Aufgabe ist ja )(a) und b ist ja ( b* [mm]\wurzel[2]{2})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Da doch [mm]\wurzel[2]{2} \not\in \IZ[/mm]
>
> aber doch nach Z X Z b auch in [mm]\IZ[/mm] liegen muss
>
> kann es doch kein Ring sein oder ??
>
> hab ich vielleicht ein ganz großes Verständnisproblem was Z
> X Z betrifft
>
> ich dachte bei Z X Z muss a in Z und b in Z liegen
> oder z.B bei D X F muss a in D und b in F liegen
>
> Ich finde manchen Definitionen fehlet Exaktheit /
> Genauigkeit
Die obige Definition ist ganz exakt!
Nenne die Elemente aus T doch besser $x,y,...$
Die Definition von T besagt nichts anderes, als dass ein Element [mm] $x\in [/mm] T$ sich darstellen lässt als [mm] $x=a+b\cdot{}\sqrt{2}$, [/mm] wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind
Damit ergibt sich für deinen obigen Ansatz für die Abgeschlossenheit von + in T folgendes:
zz.: [mm] $\forall x,y\in [/mm] T : [mm] x+y\in [/mm] T$
dazu nimm dir beliebige [mm] $x,y\in [/mm] T$ her.
Das bedeutet nach Definition von T: es gibt ganze Zahlen [mm] $a_1,b_1\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $x=a_1+b_1\sqrt{2}$
[/mm]
Und ebenso: es gibt ganze Zahlen [mm] $a_2,b_2\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $y=a_2+b_2\sqrt{2}$
[/mm]
Nun ist zu prüfen, ob denn auch [mm] $x+y\in [/mm] T$ ist, also ob es ganze Zahlen $a,b$ gibt, so dass sich $x+y$ darstellen lässt als [mm] $a+b\sqrt{2}$
[/mm]
Nun, was ist $x+y$?
[mm] $\red{x}+\blue{y}=(\red{a_1+b_1\sqrt{2}})+(\blue{a_2+b_2\sqrt{2}})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2}$
[/mm]
die letzte Umformung gilt wg. der Rechnenregeln im Ring [mm] \IZ [/mm]
wähle also [mm] $a:=a_1+a_2$ [/mm] und [mm] $b:=b_1+b_2$, [/mm] so gilt [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] und [mm] $x+y=a+b\sqrt{2}$, [/mm] also [mm] $x+y\in [/mm] T$
Die anderen Ring-bzw. Körperaxiome kannst du ganz ähnlich nachprüfen
> habt Dank für Rat
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:21 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
hi,danke erstmal ,ich bin Deine Frage gerade am durchdenken ,
vorab nochmal eine Frage
die 1. Bedingung für einen Ring:
Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche Gruppesein
also erstmal prüfen ob es eine gruppe ist, dann
die 1. Bedingung für einen Ring:
Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche Gruppe sein :
also in bezug auf die Menge T := [mm] {a+\wurzel[2]{2} I a,b \in \in } \in \IR
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{2}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] a,b
[mm] a_{1} [/mm] ; [mm] a_{2} [/mm] ; [mm] b_{1} [/mm] ; [mm] b_{2} \in \IZ
[/mm]
oder wie prüfe ich die kommutativität ( abelsch) ??
tutt mir leit , stehe auf dem schlauch
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Hallo nochmal,
irgendwie hast du die Struktur der Menge T noch nicht ganz verstanden...
> hi,danke erstmal ,ich bin Deine Frage gerade am durchdenken
> ,
>
> vorab nochmal eine Frage
>
> die 1. Bedingung für einen Ring:
>
> Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche
> Gruppesein
>
> also erstmal prüfen ob es eine gruppe ist, dann
>
> die 1. Bedingung für einen Ring:
>
> Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche
> Gruppe sein : ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also in bezug auf die Menge T := [mm]{a+\wurzel[2]{2} I a,b \in \in } \in \IR[/mm]
[mm] $T=\{a+b\wurzel{2}\mid a,b\in\IZ\}$
[/mm]
Klicke mal auf meine Version der Menge T, dann siehst du den code, den du eintippen musst... 
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}[/mm] * [mm]\wurzel[2]{2}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] * [mm]\wurzel[2]{2}[/mm]
>
>
> [mm]\forall[/mm] a,b
>
> [mm]a_{1}[/mm] ; [mm]a_{2}[/mm] ; [mm]b_{1}[/mm] ; [mm]b_{2} \in \IZ[/mm]
>
>
> oder wie prüfe ich die kommutativität ( abelsch) ??
>
> tutt mir leit , stehe auf dem schlauch
Nein, lies nochmal meine obige Antwort durch:
Die Elemente in T - ich nenne sie x,y,... damit das nicht mit den a,b durcheinander gerät - sehen so aus:
[mm] $x=a+b\wurzel{2}$ [/mm] mit gewissen [mm] $a,b\in\IZ$
[/mm]
Für die Kommutativität von + in T musst du zeigen, dass für alle [mm] $x,y\in [/mm] T$ gilt: $x+y=y+x$
Dazu nehmen wir uns beliebige zwei Elemente $x$ und $y$ aus T her
Seien also [mm] $x,y\in T\Rightarrow \exists a_1,b_1\in\IZ [/mm] : [mm] x=a_1+b_1\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\exists a_2,b_2\in\IZ [/mm] : [mm] y=a_2+b_2\sqrt{2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $x+y=(a_1+b_1\sqrt{2})+(a_2+b_2\sqrt{2})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2}=(a_2+a_1)+(b_2+b_1)\sqrt{2}=(a_2+b_2\sqrt{2})+(a_1+b_1\sqrt{2})=y+x$
[/mm]
Mache dir bitte ganz klar, dass nicht die a,b in T sind, sondern die x und y, und die lassen sich darstellen als [mm] $x=a+b\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IZ$
[/mm]
Vllt. (be)schreiben wir mal die Menge T genauer.
In der Menge T sind ja keine ganzen Zahlen drin (wg. der Multiplikation mit [mm] \sqrt{2}, [/mm] sondern reelle Zahlen.
Also [mm] $T\subset\IR$, $T=\{x\in\IR\mid\exists a,b\in\IZ : x=a+b\sqrt{2}\}$
[/mm]
Das ist eine ausführlichere Definition der Menge T.
Ich hoffe, du bekommst damit nun einen Eindruck von der Struktur dieser Menge
Gruß
schachuzipus
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