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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Mo 04.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | [mm]\bruch{\IZ}{(50)}\rightarrow\simeq\bruch{\IZ[i]}{(1+7i)}[/mm] |
Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran. Ich weiß ein Ringisomorphismus ist eine bijektiver Homomorphismus. Aber wie mache ich das hier?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 04.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\bruch{\IZ}{(50)}\rightarrow\simeq\bruch{\IZ[i]}{(1+7i)}[/mm]
Betrachte doch erstmal den Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IZ \to \bruch{\IZ[i]}{(1+7i)}$. [/mm] Du musst zeigen:
- dieser ist surjektiv,
- der Kern ist $(50)$.
Das zweite ist aequivalent zu $(1 + 7 i) [mm] \cap \IZ [/mm] = (50)$; dass kannst du z.B. machen, indem du die Gleichung $(1 + 7 i) (a + b i) [mm] \in \IZ$ [/mm] betrachtest, was zu $7 a = -b$ fuehrt, also zu $a + b i = a - 7 a i = a (1 - 7 i)$.
Um zu zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist, schaust du dir [mm] $\IZ[i] [/mm] / (1 + 7 i)$ genauer an. Wieviele Elemente hat dieser Ring? Du musst zeigen, dass es genau 50 Elemente sind: daraus folgt dann, dass [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist. Wenn ihr in der VL schon was zu dem Thema hattet, dann bist du schnell fertig. Andernfalls musst du ``von Hand'' rechnen.
Eine Moeglichkeit fuer ``von Hand'' ist, dass du zu jedem $a + b i [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] zeigst, dass es ein $c + d i [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] gibt mit $(a + b i) + (c + d i) (1 + 7 i) [mm] \in \IZ$. [/mm] Daraus folgt dann, dass $a + b i + (1 + 7 i)$ im Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mo 04.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Ich verstehe, dass man die Surjektivität von [mm]\phi[/mm] zeigen muss. Denn nach Homomorphiesatz gilt ist [mm]\phi[/mm]surjektiv, also ein Ringepimorphismus, so ist folglich R/ Kern([mm]\phi[/mm]) isomorph zum Ring [mm]\phi: \bruch{\IZ[i]}{(1+7i)}[/mm].
Was ich nicht verstehe ist, wie man auf den Kern kommt. Der Kern von ist doch [mm]\phi={a\in \IZ: \phi(a)=0}[/mm]. Wie kommt man darauf, dass 50= [mm](1+7i)\cap \IZ [/mm] ist? Warum ist das die Schnittmenge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mo 04.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir wie $(1 + 7i)$ aussieht. die elemente darin haben ja gerade die form $(a + bi)(1 + 7i) = x + yi$, wobei du $x, y [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] noch durch ausmultiplizieren bestimmen musst. nun überlege dir, für welche $a,b [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] $y = 0$ und $x$ betragsmäßig minimal ist, dann hast du einen erzeuger des hauptideals $(1 + 7i) [mm] \cap \mathbb{Z}$ [/mm] gefunden.
grüße
andreas
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