Ring mit 1, z.z: a+a=0 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 15.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring mit Eins , in dem [mm] a^{2}=a [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] R gilt.
Zeigen Sie: für alle a [mm] \in [/mm] R ist a+a=0. |
Hallo,
ich habe lange versucht, die Lösung zu finden. Dazu habe ich zuerst
versucht, zu zeigen, dass a+a = ...= 0 ist (direkter Weg).
Dann habe ich probiert, folgendes zu zeigen: Sei b das Inverse von a,
d.h a+b=0 und daraus wollte ich irgendwie a=b ableiten.
Oder , ich habe auch probiert , zu zeigen, dass a=0 ist.
Jedoch, bis jetzt habe ich keine Lösung gefunden.
Ich bitte um eure Hilfe.
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 15.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi, multipliziere (a+a)(a+a) aus und benutze die Voraussetzung.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 15.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Merle23,
wenn man (a+a)(a+a) ausmultiplizieren möchte, dann nehme ich an, dass
die Distributivgesetze des Ringes angewandt werden müßen. Das Problem ist, dass bei den Distibutivgesetzen ein Element c mit einem Klammerausdruck multipliziert wird, z.B: 5*(3+5) . In unserem Fall stehen aber zwei Klammernausdrücke , die miteinander multipliziert werden sollen.
Man könnte einen Klammerausdruck als ein Element von R betrachten und dann einfach die Distributivgesetze anwenden.
Die Frage ist , ist R abgeschlossen unter der Addition
( Ist, also, (a+a) [mm] \in [/mm] R?)
nochmal Danke und Gruss!
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 15.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Die Frage ist, ist R abgeschlossen unter der Addition
> ( Ist also (a+a) [mm]\in[/mm] R?)
Diese Frage kannst du dir selbst beantworten, indem du die Definition von "Ring" dir anschaust.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 16.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe mit der selben Aufgabe zu tun, und auch $\ (a+a)(a+a) $ bringt mich nicht weiter. Irgendetwas übersehe ich.
Ich dachte mir, da in $\ R $ das Distributivgesetz gilt, evtl so etwas wie
$\ a(a+a) = [mm] a^2+a^2 [/mm] $
$\ (a+a)a = [mm] a^2+a^2 [/mm] $
aber wo folgt denn dass $\ a + a = 0 $ sein muss/soll??
Würde mich über Hilfe freuen!
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das
" $ [mm] a^{2}=a [/mm] $ für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ R"
hast Du noch nicht benutzt !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 16.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
ja, stimmt. Aber ich seh' wirklich nicht, wo $\ a + a = 0 $ stehen soll?
$\ a(a+a) = [mm] a^2+a^2 [/mm] = a+a $
$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ ?
Tut mir leid, ich sehe entweder den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder aber ich kapier's einfach nicht, was ich eher vermute 
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ChopSuey,
Vielleicht hilft dir a+a=(a+a)(a+a) weiter ?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Die Bedingungen gelten wie bei der geposteten Aufgabe; nun sollte man
zeigen, dass der Ring kommutativ ist.
D.h: zu zeigen ab=ba für alle a,b [mm] \in [/mm] R.
Hier habe ich auch verschiedene Ansätze durchprobiert:
- benutzte , dass [mm] a=a^{2} [/mm] ist
- die Kommutativität bzgl. der Addition habe ich auch verwendet
- naja das Einselement hat mich nicht wirklich weiter gebracht
- Distributivgesetze
...
Welcher Ansatz führt zum Ziel?
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor,
> ich habe eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
> Die Bedingungen gelten wie bei der geposteten Aufgabe; nun
> sollte man
> zeigen, dass der Ring kommutativ ist.
> D.h: zu zeigen ab=ba für alle a,b [mm]\in[/mm] R.
> Hier habe ich auch verschiedene Ansätze durchprobiert:
> - benutzte , dass [mm]a=a^{2}[/mm] ist
> - die Kommutativität bzgl. der Addition habe ich auch
> verwendet
> - naja das Einselement hat mich nicht wirklich weiter
> gebracht
> - Distributivgesetze
> ...
>
> Welcher Ansatz führt zum Ziel?
Rechne mal $(x + y) (x - y)$ auf zwei verschiedene Art und Weisen aus (beachte, dass in $R$ gilt $-a = a$ fuer alle $a [mm] \in [/mm] R$, da $1 + 1 = 0$ ist).
Daraus bekommst du $x y + y x = 0$, also auch $x y - y x = 0$, also $x y = y x$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo felixf,
auf zwei verschiedene Arten ausrechnen, meintest Du damit, dass man
für a:=(x+y) und b:=(x-y) a(x-y) und (x+y)b berechnen soll?
Ich habe bei den beiden Fällen ausmultipliziert.
Jedoch, wie kommt man auf xy+yx=0 ?
Übrigens, wie berechnet man x(-y) ? Kann man sofort -xy schreiben und warum?
EDIT1: Ich habe jetzt "auf zwei verschiedene Arten" auch so interpretiert:
(x+y)(x+y)=(x+y)(x-y) ( mit Deinem Hinweis: -a=a), habe aber noch keine Lösung.
EDIT 2:Ich denke, dass ich es verstanden habe:
(x+y)(x+y) = xx+xy+yx+yy=x+y [mm] \gdw [/mm] xy+yx=0
[mm] \gdw [/mm] xy=-(yx)=yx
Stimmt das ?
Warum sollte man das auf zwei verschiede Weisen ausrechen?
nochmal Danke und Gruss!
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
eine weitere ähnliche Aufgabe :
die Bedingungen bleiben dieselben wie bei den letzten zwei Aufgaben.
Nun sollte man zeigen, dass für alle a,b [mm] \in [/mm] R \ {0,1} ab=0 gilt.
Wie sollte man hier vorgehen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> eine weitere ähnliche Aufgabe :
>
> die Bedingungen bleiben dieselben wie bei den letzten zwei
> Aufgaben.
> Nun sollte man zeigen, dass für alle a,b [mm]\in[/mm] R \ {0,1}
> ab=0 gilt.
Aber wenn $a = b$ ist, dann ist doch $a b = [mm] a^2 [/mm] = a [mm] \neq [/mm] 0$?
> Wie sollte man hier vorgehen?
Auch fuer $a [mm] \neq [/mm] b$ muss das nicht stimmen: sei etwa $R = [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ [/mm] = [mm] \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) \}$. [/mm] Dann sind $(1, 0)$ und $(1, 1)$ beide verschieden und ungleich 0, aber es gilt $(1, 0) (1, 1) = (1, 0) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$, obwohl in $R$ gilt [mm] $x^2 [/mm] = x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] R$.
Fehlt da etwas in der Aufgabenstellung?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo felixf,
ich poste die Aufgabenstellung (die Bedingungen sind wie bei den letzten zwei Aufgaben) :
Zeigen Sie: Jedes Element a [mm] \not= [/mm] 1 ist ein Nullteiler.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor,
> ich poste die Aufgabenstellung (die Bedingungen sind wie
> bei den letzten zwei Aufgaben) :
>
> Zeigen Sie: Jedes Element a [mm]\not=[/mm] 1 ist ein Nullteiler.
Schau dir mal $1 - a$ an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 17.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo felixf,
ich möchte die Lösung kurz posten:
(1+a)*a=a+a=0. Für alle a (mit den Voraussetzungen) gibt es ein Element
(1+a), so dass (1+a)*a=0.
Danke und Gruss!
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> ich möchte die Lösung kurz posten:
>
> (1+a)*a=a+a=0. Für alle a (mit den Voraussetzungen) gibt
> es ein Element
> (1+a), so dass (1+a)*a=0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man muss allerdings noch kurz erwaehnen, dass $1 + a [mm] \neq [/mm] 0$ ist. Aber das folgt ja direkt aus $a [mm] \neq [/mm] 1 = -1$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor,
> EDIT 2:Ich denke, dass ich es verstanden habe:
>
> (x+y)(x+y) = xx+xy+yx+yy=x+y [mm]\gdw[/mm] xy+yx=0
> [mm]\gdw[/mm] xy=-(yx)=yx
>
>
> Stimmt das ?
Genau das meinte ich.
> Warum sollte man das auf zwei verschiede Weisen ausrechen?
Nun, einmal rechnest du doch $(x + y) (x + y) = (x + [mm] y)^2 [/mm] = x + y$, und einmal rechnest du $(x + y) (x + y) = xx + xy + yx + yy = x + xy + yx + y$. Und dies muss gleich sein, woraus $xy + yx = 0$ folgt.
LG Felix
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