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| Aufgabe | Sei (R, +, [mm] \*) [/mm] ein Ring mit 1. Wir definieren [mm] R^{x} [/mm] := {r [mm] \in [/mm] R | r ist bzgl. [mm] \* [/mm] invertierbar}.
1.) Zeigen Sie, dass [mm] (R^{x},\*) [/mm] eine Gruppe ist (die sogenannte Einheitengruppe von R).
2.) Bestimmen Sie die Mengen [mm] \IZ^{x} [/mm] und [mm] K^{x}, [/mm] wobei K ein ein Körper ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo liebes Forum =),
ich habe die Aufgabe schon verstanden und habe meiner Meinung auch die Lösung. Es gibt nur ein Verständnisproblem, was ich habe. Außerdem ist mein Tutor, bei dem ich die Hausaufgabe abgeben muss, sehr streng was das mathematische Aufschreiben und Begründen betrifft. Ich werde die Aufgabe so reinschreiben, wie ich sie eigentlich auch abgeben möchte, also hoffe ich auf Hilfen und Kommentare über die mathematische Korrektheit und das richtige Aufschreiben.
1) Bei dieser Aufgabe muss ich zeigen, dass [mm] (R^{x}, \* [/mm] ) eine Gruppe ist und somit die ganzen Gruppenaxiome durchgehen.
Für eine Gruppe gilt, dass sie nicht leer sein darf, assoziativ (in meinem Fall bezüglich der Multiplikation) sein muss, ein neutrales und inverses Element (hier auch bezüglich der Multiplikation) haben muss.
In der Voraussetzung steht, dass [mm] R^{x} [/mm] als {r [mm] \in [/mm] R | r ist bzgl. [mm] \* [/mm] invertierbar} definiert ist und somit ist schon mal klar, dass es zu jedem Element r [mm] \in [/mm] R das Inverse gibt, welches in [mm] R^{x} [/mm] ist.
Des Weiteren sind die Elemente aus [mm] R^{x} [/mm] nach Voraussetzung auch in (R, +, [mm] \*) [/mm] enthalten und da (R, +, [mm] \*) [/mm] ein Ring mit Eins ist, ist die Eins somit das muliplikativ neutrale Element im Ring, da [mm] r\* [/mm] 1 = r [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] (R, +, [mm] \*). [/mm] Das multiplikativ Inverse zu 1 ist 1, da [mm] 1\*1 [/mm] =1 und somit ist die Eins auch das multiplikativ neutrale Element in [mm] R^{x}.
[/mm]
Jetzt kommen wir zur Assoziativität. Diese besagt: [mm] (r_{1} \* r_{2}) \* r_{3} [/mm] = [mm] r_{1}\* (r_{2}\* r_{3}) \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] (R, +, [mm] \*) [/mm] . Da (R, +, [mm] \*) [/mm] ein Ring ist, wissen wir nach der Vorlesung, dass die Assoziativität bezüglich der Multiplikation gelten muss. Des Weiteren muss sie dann auch in der Einheitengruppe von R gelten, da das für alle Elemente aus dem Ring gilt und nach Definition liegen ja alle Elemente aus der Einheitengruppe auch im Ring. Also gilt: ( [mm] r_{1} \* r_{2} [/mm] ) [mm] \* r_{3} [/mm] = [mm] r_{1}\* [/mm] ( [mm] r_{2}\* r_{3} [/mm] ) [mm] \forall [/mm] r [mm] \in (R^{x},\*) [/mm] .
Damit ist gezeigt, dass [mm] (R^{x},\*) [/mm] eine Gruppe ist.
2) Zuerst soll ich die Menge [mm] \IZ^{x} [/mm] bestimmen.
[mm] \IZ^{x} [/mm] : = {z [mm] \in [/mm] R | z ist bzgl. [mm] \* [/mm] invertierbar}
Diese Menge besteht aus ganzen Zahlen, für die wieder das multiplikativ Inverse in der Menge sein muss. Auf Grund dieser Defintion wissen wir bereits, dass die Menge wie folgt auszusehen hat: [mm] \IZ^{x} [/mm] = { -1 , 1 }.
Das multiplikative Inverse hat die Form [mm] \bruch{1}{z}. [/mm] Wir wissen z ist eine ganze Zahl, also hat es die Form [mm] \bruch{1}{eine ganze Zahl}. [/mm] Damit [mm] \bruch{1}{z} [/mm] auch eine ganze Zahl ist und somit in der zu bestimmenden Menge liegt, muss z= 1 oder z=-1 sein, da [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 und [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] = -1 . Für alle anderen ganzen Zahlen würde bei dem Bruch eine rationale Zahl herauskommen. Außerdem haben wir oben schon festgestellt, dass 1 sowie -1 im Ring sind. Also:
[mm] \IZ^{x} [/mm] = {-1 , 1 }
Jetzt soll noch [mm] K^{x} [/mm] bestimmt werden, wobei K ein Körper ist.
[mm] K^{x} [/mm] : = {k [mm] \in [/mm] R | k ist bzgl. [mm] \* [/mm] invertierbar}
Wir wissen durch die Vorlesung, dass ein Körper ein kommutativer Ring mit 1 ist, in dem 1 [mm] \not= [/mm] 0 und alle Elemente außer der 0 invertierbar sein müssen. Damit K nun ein Körper ist, muss (R, +, [mm] \*) [/mm] kommutativ sein und 1 [mm] \not= [/mm] 0 gelten, außerdem müssen alle Elemente außer der 0 invertierbar sein. Die Einheitengruppe von K besteht dann aus alles Elementen aus dem Ring ohne die Null, da nach Definition alle Elemente in der Einheitengruppe invertierbar sein müssen. Also:
[mm] K^{x} [/mm] = R \ {0} .
Hier ist jetzt meine Frage: Kann man das so schreiben [mm] K^{x} [/mm] = R \ {0} ? Schließlich sage ich hier ja, dass [mm] K^{x} [/mm] aus allen Elementen des Ringes ohne die Null besteht. Dabei ist der Ring ja nicht als kommutativ gegeben noch muss es multiplikative Inverse in einem Ring geben. Nur wenn der Ring diese Bedingungen erfüllt, dann gilt das, oder nicht? Wie könnte ich das sonst schreiben? Soll ich das vllt so machen: Wenn der Ring kommutativ ist und er auch die multiplikativen Inversen enthält (außer natürlich der 0, denn dafür gibt es keine Invers), dann gilt: [mm] K^{x} [/mm] = R \ {0} ?
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüße
Milchschelle
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Hallo Milchschelle,
> Sei (R, +, [mm]\*)[/mm] ein Ring mit 1. Wir definieren [mm]R^{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {r
> [mm]\in[/mm] R | r ist bzgl. [mm]\*[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
invertierbar}.
>
> 1.) Zeigen Sie, dass [mm](R^{x},\*)[/mm] eine Gruppe ist (die
> sogenannte Einheitengruppe von R).
>
> 2.) Bestimmen Sie die Mengen [mm]\IZ^{x}[/mm] und [mm]K^{x},[/mm] wobei K ein
> ein Körper ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Hallo liebes Forum =),
>
> ich habe die Aufgabe schon verstanden und habe meiner
> Meinung auch die Lösung. Es gibt nur ein
> Verständnisproblem, was ich habe. Außerdem ist mein
> Tutor, bei dem ich die Hausaufgabe abgeben muss, sehr
> streng was das mathematische Aufschreiben und Begründen
> betrifft. Ich werde die Aufgabe so reinschreiben, wie ich
> sie eigentlich auch abgeben möchte, also hoffe ich auf
> Hilfen und Kommentare über die mathematische Korrektheit
> und das richtige Aufschreiben.
>
>
> 1) Bei dieser Aufgabe muss ich zeigen, dass [mm](R^{x}, \*[/mm] )
> eine Gruppe ist und somit die ganzen Gruppenaxiome
> durchgehen.
>
> Für eine Gruppe gilt, dass sie nicht leer sein darf,
> assoziativ (in meinem Fall bezüglich der Multiplikation)
> sein muss, ein neutrales und inverses Element (hier auch
> bezüglich der Multiplikation) haben muss.
>
> In der Voraussetzung steht, dass [mm]R^{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
als {r [mm]\in[/mm] R | r ist
> bzgl. [mm]\*[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
invertierbar} definiert ist und somit ist schon
> mal klar, dass es zu jedem Element r [mm]\in[/mm] R das Inverse
> gibt, welches in [mm]R^{x}[/mm] ist.
>
> Des Weiteren sind die Elemente aus [mm]R^{x}[/mm] nach Voraussetzung
> auch in (R, +, [mm]\*)[/mm] enthalten und da (R, +, [mm]\*)[/mm] ein Ring mit
> Eins ist, ist die Eins somit das muliplikativ neutrale
> Element im Ring, da [mm]r\*[/mm] 1 = r [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] (R, +, [mm]\*).[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das multiplikativ Inverse zu 1 ist 1, da [mm]1\*1[/mm] =1 und somit
> ist die Eins auch das multiplikativ neutrale Element in
> [mm]R^{x}.[/mm]
Und das multiplikativ Inverse zu einem beliebigen [mm]r\in R^{\star}[/mm] ?
>
> Jetzt kommen wir zur Assoziativität. Diese besagt: [mm](r_{1} \* r_{2}) \* r_{3}[/mm]
> = [mm]r_{1}\* (r_{2}\* r_{3}) \forall[/mm] r [mm]\in[/mm] (R, +, [mm]\*)[/mm] .
[mm] $\forall r_1,r_2,r_3\in [/mm] R$ !!
> Da (R,
> +, [mm]\*)[/mm] ein Ring ist, wissen wir nach der Vorlesung, dass
> die Assoziativität bezüglich der Multiplikation gelten
> muss. Des Weiteren muss sie dann auch in der
> Einheitengruppe von R gelten, da das für alle Elemente aus
> dem Ring gilt und nach Definition liegen ja alle Elemente
> aus der Einheitengruppe auch im Ring. Also gilt: ( [mm]r_{1} \* r_{2}[/mm]
> ) [mm]\* r_{3}[/mm] = [mm]r_{1}\*[/mm] ( [mm]r_{2}\* r_{3}[/mm] ) [mm]\forall[/mm] r [mm]\in (R^{x},\*)[/mm]
Schluderig geschrieben ...
Jo, das wird netterweise vom Ring vererbt.
> .
>
> Damit ist gezeigt, dass [mm](R^{x},\*)[/mm] eine Gruppe ist.
Mir fehlt da was ...
Wieso ist denn überhaupt die Menge [mm]R^{\star}[/mm] abgeschlossen bzgl. Multiplikation, wieso ist also für alle [mm]r_1,r_2\in R^{\star}[/mm] auch [mm]r_1\cdot{}r_2\in R^{\star}[/mm] ?
Das ist doch ein zentraler Punkt ...
>
> 2) Zuerst soll ich die Menge [mm]\IZ^{x}[/mm] bestimmen.
>
> [mm]\IZ^{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: = {z [mm]\in[/mm] R | z ist bzgl. [mm]\*[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
invertierbar}
>
> Diese Menge besteht aus ganzen Zahlen, für die wieder das
> multiplikativ Inverse in der Menge sein muss. Auf Grund
> dieser Defintion wissen wir bereits, dass die Menge wie
> folgt auszusehen hat: [mm]\IZ^{x}[/mm] = { -1 , 1 }.
> Das multiplikative Inverse hat die Form [mm]\bruch{1}{z}.[/mm] Wir
> wissen z ist eine ganze Zahl, also hat es die Form
> [mm]\bruch{1}{eine ganze Zahl}.[/mm] Damit [mm]\bruch{1}{z}[/mm] auch eine
> ganze Zahl ist und somit in der zu bestimmenden Menge
> liegt, muss z= 1 oder z=-1 sein, da [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 und
> [mm]\bruch{1}{-1}[/mm] = -1 . Für alle anderen ganzen Zahlen würde
> bei dem Bruch eine rationale Zahl herauskommen. Außerdem
> haben wir oben schon festgestellt, dass 1 sowie -1 im Ring
> sind. Also:
> [mm]\IZ^{x}[/mm] = {-1 , 1 }
Jo
>
> Jetzt soll noch [mm]K^{x}[/mm] bestimmt werden, wobei K ein Körper
> ist.
>
> [mm]K^{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: = {k [mm]\in[/mm] R | k ist bzgl. [mm]\*[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
invertierbar}
Wieso [mm]k\in R[/mm]?
Da steht doch [mm]\red{K}^{\star}[/mm] und nicht [mm]R^{\star}[/mm]
Also [mm]K^{\star}=\{k\in K\mid k \ \text{invertierbar ...}\}[/mm]
>
> Wir wissen durch die Vorlesung, dass ein Körper ein
> kommutativer Ring mit 1 ist, in dem 1 [mm]\not=[/mm] 0 und alle
> Elemente außer der 0 invertierbar sein müssen. Damit K
> nun ein Körper ist, muss (R, +, [mm]\*)[/mm] kommutativ sein und 1
> [mm]\not=[/mm] 0 gelten, außerdem müssen alle Elemente außer der
> 0 invertierbar sein. Die Einheitengruppe von K besteht dann
> aus alles Elementen aus dem Ring ohne die Null, da nach
> Definition alle Elemente in der Einheitengruppe
> invertierbar sein müssen. Also:
> [mm]K^{x}[/mm] = R \ {0} .
[mm]K^{\star}=K\setminus\{0\}[/mm]
>
> Hier ist jetzt meine Frage: Kann man das so schreiben [mm]K^{x}[/mm]
> = R \ {0} ? Schließlich sage ich hier ja, dass [mm]K^{x}[/mm] aus
> allen Elementen des Ringes
sogar des Körpers!
> ohne die Null besteht. Dabei ist
> der Ring ja nicht als kommutativ gegeben noch muss es
> multiplikative Inverse in einem Ring geben.
Im Körper ist alles wunderbar, alles kommutativ!
> Nur wenn der
> Ring diese Bedingungen erfüllt, dann gilt das, oder nicht?
> Wie könnte ich das sonst schreiben? Soll ich das vllt so
> machen: Wenn der Ring kommutativ ist und er auch die
> multiplikativen Inversen enthält (außer natürlich der 0,
> denn dafür gibt es keine Invers), dann gilt: [mm]K^{x}[/mm] = R \
> {0} ?
>
> Danke für eure Hilfe
>
> Liebe Grüße
>
> Milchschelle
>
Gruß
schachuzipus
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also muss ich mich beim Körper gar nicht auf einen Ring beziehen? oder muss ich einfach einen neuen Ring K definieren?
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Hallo nochmal,
> also muss ich mich beim Körper gar nicht auf einen Ring
> beziehen?
Verstehe ich nicht ... ein Körper ist insbesondere ein Ring ...
> oder muss ich einfach einen neuen Ring K
> definieren?
Wenn du die Menge, die zusammen mit den Verknüpfungen "+" und "*" den Körper bildet, K nennst, so ist die Einheitengruppe [mm](K^{\star},*)[/mm]
Wenn du den Körper [mm]R[/mm] nennst, dann [mm]R^{\star}[/mm] (verkürzt geschrieben)
Du musst dich nur konsistent an deine Notation halten.
Noch mal verbal zusammengefasst:
Im Körper [mm]K[/mm] sind alle Elemente außer der Null (= neutr. Element der Addition) multiplikativ invertierbar (also Einheiten)! Also [mm]K^{\star}=K\setminus\{0\}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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muss man die abgeschlossenheit bei dem beweis einer gruppe zeigen? ich dachte nur bei einer Untergruppe?
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Hallo nochmal,
> muss man die abgeschlossenheit bei dem beweis einer gruppe
> zeigen? ich dachte nur bei einer Untergruppe?
Bei der Gruppe ist das Teil der Definition:
Eine nichtleere Menge [mm]G[/mm] zusammen mit einer Verknüpfung [mm]\circ:G\times G\to G[/mm] heißt Gruppe, wenn ... usw.
Das sagt doch, dass, wenn du zwei Elemente [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] verknüpfst, das Resultat [mm]g_1\circ g_[/mm] wieder in [mm]G[/mm] ist.
Das musst du bei dir sicherstellen ...
Zeige also, dass das Produkt zweier invertierbarer Elemente wieder invertierbar ist (dass das Produkt zweier Einheiten wieder eine Einheit ist)
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wieso das abgeschlossen ist bzw wie ich das beweisen kann .
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Hallo nochmal,
was gilt denn allg., wenn du eine Gruppe [mm] $(G,\circ)$ [/mm] gegeben hast.
Was ist [mm] $(g_1\circ g_2)^{-1}$
[/mm]
Das hattet ihr sicher...
Damit sollte es klappen ...
Gruß
schachuzipus
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