Ring: m-fache summe e ist prim < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | betrachten Sie in einem endlichen nullteilerfreien kommutativen Ring r mit eins die mfache Summe des Einselementes mit sich selbst. zeigen Sie nun, dass es ein m € N gibt, sodass diese summe gleich 0 € R ist. Zeigen Sie nun; das kleinste m für das dies gilt ist eine primzahl. |
Hallo!
Wer kann mir weiterhelfen?
ich habe diese frage in keinem forum auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Also bis jetzt haben wir.
weil N = unendlich und R < unendlich, ist f: N-->R: [mm] x-->\summe_{i=1}^{m} [/mm] 1 nicht injektiv.
Sei y,z € N: f(y) = f(z), [mm] y\not=z
[/mm]
o.b.d.a.y>z --> y*z € N
[mm] \summe_{i=1}^{y*z}1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{y}1 [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{z}1 [/mm] =0
Kann man das so schreiben? Wie beweise ich jetzt aber, dass das eine Primzahl ist? Natürlich muss das irgendwas mit dem Teiler zu tun haben, aber ich habe keine Ahnung wie man das beweist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Sa 01.12.2007 | | Autor: | lenz |
hi
das mit der primzahl hatten wir in der vorlesung.
da geht ein das R nullteilerfrei ist,d.h wenn m nicht prim
kann m als k*l =0 mit k,l [mm] \not=0 [/mm] dargestellt werden
was mir bei der aufgabe nicht klar ist ist wie man zeigt das R
zyklisch sein muß,bzw das es ein m geben muß das die m-fache summe der 1 auf 0 abbildet und nicht auf eins oder so,und das m element [mm] \IN [/mm] ist,weiß aber auch nicht ob das notwendig ist
lenz
p.s. hab die selbe aufgabe unter nullteilerfreier ring gestellt
allerdings auch noch keine antwort bekommen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 02.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> betrachten Sie in einem endlichen nullteilerfreien
> kommutativen Ring r mit eins die mfache Summe des
> Einselementes mit sich selbst. zeigen Sie nun, dass es ein
> m € N gibt, sodass diese summe gleich 0 € R
> ist. Zeigen Sie nun; das kleinste m für das dies gilt ist
> eine primzahl.
> Hallo!
> Wer kann mir weiterhelfen?
> ich habe diese frage in keinem forum auf keiner anderen
> Internetseite gestellt.
>
> Also bis jetzt haben wir.
> weil N = unendlich und R < unendlich, ist f: N-->R:
> [mm]x-->\summe_{i=1}^{m}[/mm] 1 nicht injektiv.
> Sei y,z € N: f(y) = f(z), [mm]y\not=z[/mm]
> o.b.d.a.y>z
bis hier sieht das sehr gut aus. jetzt würde ich allerdings mal $f(y - z)$ betrachten (dies ist definiert, da $y - z [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] ist diese element vielleicht schon $=0$?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 So 02.12.2007 | | Autor: | AnneKatrin |
Hallo!
Danke, aber ich hab das durch nen Gegenbeweis versucht.
Annahme: m ist die kl. Zahl und keine Prim.
=> m lässt sich durch p*q p,q N ausdrücken
m*1=0 R (nach Aufgabenstellung)
Sei m*1=p*q*1=> (p*1)(q*1)=0
Da R nullteilerfrei, muss entweder p*1 oder q*1 null sein. also p*1 oder q*1=0.
Dies ist aber ein Widerspruch zu p,q m.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 02.12.2007 | | Autor: | lenz |
hallo
reicht es nicht wenn man einfach damit argumentiert
das dadurch das R endlich gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] so dass
n=m+1 mit m größtes element in R.das problem was ich son bißchen hab
ist wie gesagt zu zeigen das dieses n auf 0 abgebildet werden muß
und nicht auf ein beliebiges element in R
lenz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 02.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
wie ich bei deiner anderen frage schon geschrieben habe: in solchen ringen gibt es im allgemeinen kein "größtes" element (und ich befürchte, dass man dieses argument auch nicht irgendwie "retten" kann). was spricht denn gegen das argument, welches oben von AnneKatrin angeführt wurde. mach dir doch klar, dass $f(y - x) = 0$ ist, indem du die summen geschickt zu $f(y) - f(x)$ umformst.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 So 02.12.2007 | | Autor: | lenz |
ja,danke
hatte die frage vorher gestellt
gruß lenz
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