Ring der 2x2-Matrizen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Ring der [mm] $2\times2$-Matrizen [/mm] über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] einfach ist, d. h. er hat nur die trivialen Ideale. |
Hallo Leute,
ich wollte gerne von euch wissen, ob der vorliegende Beweis so stimmt.
Sei [mm] $A\in I\subset [/mm] R$ eine Matrix aus dem Ideal I Teilmenge von R des nichtkommutativen Ringes der [mm] $2\times2$-Matrizen [/mm] und [mm] $P\in [/mm] R$.
Es gilt: [mm] $AP\neq PA\Rightarrow [/mm] A=0$ oder$A=1$ Denn nur dann ist [mm] $AP=PA\in [/mm] I$. Also ist das Ideal A trivial.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass der Ring der [mm]2\times2[/mm]-Matrizen über dem
> Körper [mm]\IR[/mm] einfach ist, d. h. er hat nur die trivialen
> Ideale.
> Hallo Leute,
>
> ich wollte gerne von euch wissen, ob der vorliegende Beweis
> so stimmt.
Ich nehms vorweg: er stimmt nicht.
>
> Sei [mm]A\in I\subset R[/mm] eine Matrix aus dem Ideal I Teilmenge
> von R des nichtkommutativen Ringes der [mm]2\times2[/mm]-Matrizen
> und [mm]P\in R[/mm].
>
> Es gilt: [mm]AP\neq PA\Rightarrow A=0[/mm] oder[mm]A=1[/mm]
Wie das ???
> Denn nur dann ist
> [mm]AP=PA\in I[/mm].
Wenn A [mm] \in [/mm] I und P [mm] \in [/mm] R, so gilt immer: AP,PA [mm] \in [/mm] I, denn I ist ein Ideal in R.
> Also ist das Ideal A trivial.
Du meinst sicher I ...
Obiges ist sehr wirr.
Ist Dir eigentlich klar, wann ein Ideal in R "trivial" heißt ?
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo fred,
naja trivial ist etwas, was offensichtlich ist. Aber das ist, finde ich, sehr dehnbar. {e} ist zum Beispiel eine triviale Gruppe.
Wie könnte man meinen Beweis denn entwirren?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> naja trivial ist etwas, was offensichtlich ist. Aber das
> ist, finde ich, sehr dehnba
Nix dergleichen !
ein Ideal I in R heißt "trivial" [mm] \gdw [/mm] I={ 0 } oder I=R.
FRED
> r. {e} ist zum Beispiel eine
> triviale Gruppe.
>
> Wie könnte man meinen Beweis denn entwirren?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
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> das stellt mich aber vor ein Problem. Wenn I=R, bleibt
> [mm]AP\neq PA[/mm] und das ist wiederum Problematisch mit dem 3.
> Axiom ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_%28Ringtheorie%29#Definition.
> Denn es bleibt ja nichtkommutativ.
Mir ist nicht klar, was Dein Problem ist.
mach es so: sei I ein Ideal in R und I [mm] \ne [/mm] R.
Jetzt zeigst Du: ist A [mm] \in [/mm] I, so ist A=0.
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo fred,
ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. Kannst du mir bitte noch einen Tip geben?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. Kannst du
> mir bitte noch einen Tip geben?
1. Wegen I [mm] \ne [/mm] R ist det(C)=0 für jedes C [mm] \in [/mm] I. Warum ?
2. Sei also [mm] A=\pmat{ a & b\\ c & d } \in [/mm] I.
Sei weiter [mm] B=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0}.
[/mm]
Dann haben wir AB [mm] \in [/mm] I und BA [mm] \in [/mm] I. Damit ist auch AB+BA [mm] \in [/mm] I.
Nun berechne mal det(AB+BA) und schau was passiert.
Ist Dir nun klar , wie es weitergeht ?
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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