Ring Z/3ZxZ/5Z < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 28.07.2012 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | i)
Betrachte den Ring Z/3ZxZ/5Z mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Das Element (1,1) ist darin offenbar die Eins. Ist jedes Element q darin ein ganzzahliges Vielfaches der Eins (also der Form n(1,1)=(1,1)+...+(1,1) mit n Summanden)? |
Hallo!
Ich verstehe die Fragestellung nicht ganz...
Betrachte ich das element q := (a,b) mit a=0,1,2 und b=0,1,2,3,4
so soll es der Form n(1,1) sein...??!
nunja, ich dachte mir, sei a=0 und b=1--> q=(0,1) was ja kein ganzzahliges vielfaches von (1,1) ist oder?
in der Musterlösung steht:
1=(1,1)
2=(2,2)
3=(0,3)
4=(1,4)
usw.
-->JA, alle Elemente ganzzahliges vielfaches von Eiins.
Wieso????????
Nehme ich Z/3ZxZ/3Z so ergäbe sich:
1=(1,1)
2=(2,2)
3=(3,3)
4=(0,0)
usw.
DAS sind für mich ganzzahlige vielfache von eins... wieso ist es genau umgekehrt, wie ich denke?
Danke <3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 28.07.2012 | | Autor: | perl |
mir ist was gekommen...
ist mit q vill. das einselement selbst gemeint?
Denn in Z/3ZxZ/5Z ist ggT(3,5)=1 also existiert ein inverses element, das auf (1,1) abbildet.
in Z/3ZxZZ/3Z existiert kein inverses element zu (3,3), da ggT(3,3) ungleich 1.
Ist es das was die aufgabe meint? ist das richtig?
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[mm]6 \cdot (1,1) = (0,1)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 28.07.2012 | | Autor: | wieschoo |
> i)
> Betrachte den Ring Z/3ZxZ/5Z mit komponentenweiser
> Addition und Multiplikation. Das Element (1,1) ist darin
> offenbar die Eins. Ist jedes Element q darin ein
> ganzzahliges Vielfaches der Eins (also der Form
> n(1,1)=(1,1)+...+(1,1) mit n Summanden)?
> Hallo!
> Ich verstehe die Fragestellung nicht ganz...
>
> Betrachte ich das element q := (a,b) mit a=0,1,2 und
> b=0,1,2,3,4
> so soll es der Form n(1,1) sein...??!
>
> nunja, ich dachte mir, sei a=0 und b=1--> q=(0,1) was ja
> kein ganzzahliges vielfaches von (1,1) ist oder?
Es ist doch [mm] $6\cdot (1,1)=(6,6)=(0,1)=q\;$. [/mm] Du rechnest doch mod 3 und mod 5.
>
> in der Musterlösung steht:
>
> 1=(1,1)
> 2=(2,2)
> 3=(0,3)
(0,3)=(3,3)=(6,3)=(6,8)=....
> 4=(1,4)
> usw.
> -->JA, alle Elemente ganzzahliges vielfaches von Eiins.
>
>
> Wieso????????
Elemente [mm] $(a,b)\in \IZ/2\IZ \times \IZ/5\IZ$ [/mm] haben stets die Form [mm] $(a+3\IZ,b+5\IZ)$ [/mm] und da 3 und 5 teilerfremd sind gibt es eben diese Faktoren n mit $n(1,1)=(a,b)$.
> Nehme ich Z/3ZxZ/3Z so ergäbe sich:
> 1=(1,1)
> 2=(2,2)
> 3=(3,3)
> 4=(0,0)
> usw.
> DAS sind für mich ganzzahlige vielfache von eins... wieso
> ist es genau umgekehrt, wie ich denke?
>
Hier funktioniert dein Gegenbeispiel. Es gibt kein [mm] $n\;$ [/mm] mit $n(1,1)=(0,1)$. Es müsste dann
[mm] $n\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod [/mm] 3$ und [mm] $n\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod [/mm] 3$ gelten. Doch dies geht nicht.
Lies dir einmal die Sachen zum chinesischen Restsatz durch. Insbesondere den Teil zur Existenz von Lösungen.
gruß
wieschoo
Edit: Die andere Antwort war zeitgleich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:38 So 29.07.2012 | | Autor: | perl |
super! Danke euch :) manchmal wirds einem vom zyklus drehen schwindlig und man sieht nix mehr ;)
top antworten wie immer!
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