Ring, Körper,neutrale Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 So 10.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich habe mit Beginn dieses Semesters die Uni gewechselt und sitze nun verzweifelt vor meinem ersten Übungsblatt in Linearer Algebra I... Thematisch geht es, um Ringe, Körper und Moduln.
Für alle hier scheint das Thema Ringe und Körper ein Klacks zu sein, dass es im letzten Semester wohl ausführlich durchgekaut wurde, für mich allerdings ist es größtenteils alles neu...
Die Definitionen und so scheinen auch wirklich nicht schwer zu sein, allerdings haperts bei mir in der Umsetzung irgendwie...
Zum Beispiel habe ich eine Aufgabe, in der [mm] \IN_{0}= [/mm] {0,1,2,...} mit der üblichen Addition und Multiplikation betrachtet werden soll. Aufgabe ist es nun, zunächst die neutralen Elemente bezüglich + und * zu bestimmen...
Aber wie mache ich das nun? Für mich scheint es klar zu sein, dass die neutralen Elemente 0 und 1 sind, allerdings wird das wohl nicht als Lösung reichen denke ich... Wie kann ich die neutralen Elemente korrekt bestimmen?
Dann soll ich noch angeben, ob [mm] \IN_{0} [/mm] ein Ring, ein Körper oder keines von beidem ist.
Dazu habe ich mir überlegt, dass es sinnvoll wäre, zunächst zu gucken, ob es sich um einen Ring handelt. Wenn ja, kann man weiterhin zusätzlich schauen, ob es ein multiplikatives Invereses gibt und ob die multiplikative Verknüpfung kommutativ ist, dann wäre der Ring ja zusätzlich ein Körper... Wenn [mm] \IN_{0} [/mm] kein Ring wäre, könnte es ja auch automatisch kein Körper sein...
So viel zu meinen theoretischen Überlegungen... Aber nun sitze ich hier und frage mich, wie ich so etwas richtig überprüfe... natürlich gibt es da die axiome, doch irgendwie bekomme ich all die informationen noch nicht richtig für mich geordnet, so dass ich einen ordentlichen Lösungsweg gehen kann...
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte ein wenig Licht in meine Dunkelheit zu bringen!
LG Pia
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Hallo Pia90,
zum Nachweis der neutralen Elemente: Nimm dir doch einfach ein beliebiges Element aus [mm]\IN[/mm] her und zeige, dass bei Multiplikation bzw. Addition mit 1 bzw. 0 wieder dieses Element herauskommt. Also zaubern muss man da meiner Ansicht nach nicht. Die Aufgabe ist ziemlich trivial. Man kann aber zusätzlich noch zeigen, dass e links- und rechtsneutral ist. Ich würde es so aufschreiben: Sei a[mm]\in\IN[/mm] gegeben.
Behauptung 1: 1 ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Beweis: [mm]a*1=1*a=a[/mm].
Behauptung 2: 0 ist neutrales Element bezüglich der Addition.
Beweis: [mm]0+a=a+0=a[/mm].
Zu deiner zweiten Frage:
Die natürlichen Zahlen bilden keinen Körper. Schau dir die Körperaxiome mal an. Gleichungen wie 2x=1 sind in [mm]\IN[/mm] nicht lösbar.
Die natürlichen Zahlen bilden auch keinen Ring. Warum? Überleg mal. Sie bilden einen kommutativen Halbring. Was fehlt zum Ring... die additive Gruppe! Man sie zum Ring erweitern. Dann sind es die ganzen Zahlen.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 10.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort!
> zum Nachweis der neutralen Elemente: Nimm dir doch einfach
> ein beliebiges Element aus [mm]\IN[/mm] her und zeige, dass bei
> Multiplikation bzw. Addition mit 1 bzw. 0 wieder dieses
> Element herauskommt. Also zaubern muss man da meiner
> Ansicht nach nicht. Die Aufgabe ist ziemlich trivial. Man
> kann aber zusätzlich noch zeigen, dass e links- und
> rechtsneutral ist. Ich würde es so aufschreiben: Sei
> a[mm]\in\IN[/mm] gegeben.
>
> Behauptung 1: 1 ist neutrales Element bezüglich der
> Multiplikation. Beweis: [mm]a*1=1*a=a[/mm].
>
> Behauptung 2: 0 ist neutrales Element bezüglich der
> Addition.
> Beweis: [mm]0+a=a+0=a[/mm].
>
Das macht alles Sinn und ist für mich nachvollziehbar :) Aber irgendwie frage ich mich, ob das als Antwort reicht... Aber vielleicht ist es wirklich so trivial, und ich denke zu kompliziert :)
> Zu deiner zweiten Frage:
> Die natürlichen Zahlen bilden keinen Körper. Schau dir
> die Körperaxiome mal an. Gleichungen wie 2x=1 sind in [mm]\IN[/mm]
> nicht lösbar.
>
> Die natürlichen Zahlen bilden auch keinen Ring. Warum?
> Überleg mal. Sie bilden einen kommutativen Halbring. Was
> fehlt zum Ring... die additive Gruppe! Man sie zum Ring
> erweitern. Dann sind es die ganzen Zahlen.
Auch diese Erklärungen verstehe ich sehr gut! Du hast mir also schonmal sehr weitergeholfen :) Diese Aufgabe habe ich nun glaube ich verstanden.
Bei meiner nächsten Aufgabe habe ich allerdings bereits Fragezeichen vor Augen... Aber es ist diesmal wohl eher ein Verständnisproblem dahingehend, was das bedeutet, was da steht ... Also:
Für einen Ring R und a [mm] \in [/mm] R definiert man aR = {a*r | r [mm] \in [/mm] R}
(a) Sind [mm] 8\IZ, -7\IQ ,\wurzel{42}\IR [/mm] Ringe, Körper oder keines von beidem?
Wir in der ersten Aufgabe muss ich jetzt wieder untersuchen, ob die Axiome zutreffen, das ist mir klar. Mich verwirren ein wenig die Zahlen vor den Mengen... aber das sind nur diese Faktoren a, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 10.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [...]
> Auch diese Erklärungen verstehe ich sehr gut! Du hast mir
> also schonmal sehr weitergeholfen :) Diese Aufgabe habe ich
> nun glaube ich verstanden.
Sehr schön, da ist auch keine "Hexerei" bei.
>
> Bei meiner nächsten Aufgabe habe ich allerdings bereits
> Fragezeichen vor Augen... Aber es ist diesmal wohl eher ein
> Verständnisproblem dahingehend, was das bedeutet, was da
> steht ... Also:
>
> Für einen Ring R und a [mm] \in [/mm] R definiert man
> aR = {a*r | r [mm] \in [/mm] R}
> (a) Sind [mm]8\IZ, -7\IQ ,\wurzel{42}\IR[/mm] Ringe, Körper oder
> keines von beidem?
>
> Wir in der ersten Aufgabe muss ich jetzt wieder
> untersuchen, ob die Axiome zutreffen, das ist mir klar.
> Mich verwirren ein wenig die Zahlen vor den Mengen... aber
> das sind nur diese Faktoren a, oder?
>
Genau so ist es. Prüfe einfach die Axiome nach, da die Ring - und Körperaxiome teilweise identisch sind, musst du bei der "Körperprobe" nicht mehr alle Punkte abarbeiten.
Du kannst die üblichen Rechengesetze in [mm] \IZ, \IQ [/mm] bzw [mm] \IR [/mm] nutzen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal :)
Die Faktoren vor den Mengen, verunsichern mich immer noch ein wenig.
Im Grunde weiß ich ja, dass [mm] \IZ [/mm] ein Ring und [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] jeweils Ring und Körper sind.
Die 8 vor der Menge [mm] \IZ [/mm] dürfte ja im Prinzip nichts an dieser Tatsache ändern, da die Elemente dadurch stehts in der Menge der ganzen Zahlen bleiben.
Wenn ich jetzt aber die -7 vor [mm] \IQ [/mm] habe... ein Element aus [mm] \IQ [/mm] wäre ja beispielsweise [mm] \bruch{1}{7}... [/mm] -7 * [mm] \bruch{1}{7} [/mm] ergäbe jedoch [mm] \bruch{-7}{7} [/mm] und ließe sich demnach zu einer ganzen Zahl kürzen... ist das von Bedeutung?! Denn damit hätte man keinen Ring mehr, oder doch?
Ich bin verwirrt...
LG Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal :)
>
> Die Faktoren vor den Mengen, verunsichern mich immer noch
> ein wenig.
>
> Im Grunde weiß ich ja, dass [mm]\IZ[/mm] ein Ring und [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm]
> jeweils Ring und Körper sind.
> Die 8 vor der Menge [mm]\IZ[/mm] dürfte ja im Prinzip nichts an
> dieser Tatsache ändern, da die Elemente dadurch stehts in
> der Menge der ganzen Zahlen bleiben.
Den Satz verstehe ich nicht so recht....
> Wenn ich jetzt aber die -7 vor [mm]\IQ[/mm] habe... ein Element aus
> [mm]\IQ[/mm] wäre ja beispielsweise [mm]\bruch{1}{7}...[/mm] -7 *
> [mm]\bruch{1}{7}[/mm] ergäbe jedoch [mm]\bruch{-7}{7}[/mm] und ließe sich
> demnach zu einer ganzen Zahl kürzen... ist das von
> Bedeutung?! Denn damit hätte man keinen Ring mehr, oder
> doch?
Es ist $-7* [mm] \IQ= \IQ$ [/mm] !!! Warum ?
FRED
> Ich bin verwirrt...
>
> LG Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
> Den Satz verstehe ich nicht so recht....
Damit wollte ich ausdrücken, dass ich behaupte, dass 8 * [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ... [/mm] Die Elemente wären halt nur ganze Zahlen, deren Teiler 8 ist... oder habe ich an dieser Stelle einen Denkfehler?
> Es ist [mm]-7* \IQ= \IQ[/mm] !!! Warum ?
Genau hier steckt mein Problem... Einerseits würde ich behaupten, dass -7* [mm] \IQ [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ist, da man ja in den rationalen Zahlen auch ganz normal die Rechengesetze der Multiplikation anwenden kann, da [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist.
Aber -7 * [mm] \bruch{1}{7}, [/mm] wäre ja [mm] \bruch{-7}{7} [/mm] = -1 ... ist das dann trotzdem eine rationale Zahl?
Vielleicht ist meine Frage total bescheuert, aber ich bin mir unklar darüber, ob ich sagen kann, dass die ganze Zahl (in meinem Beispiel die -1) eine rationale Zahl ist, oder ob ich die Menge ausschließen muss... aber im Prinzip ist die Menge der ganzen Zahlen ja in den rationalen Zahlen enthalten...
Könnte man dann sagen, dass die Ringeigenschaft (und auch die Körpereigenschaft) erhalten bleibt, wenn der Faktor vor der Menge, auch selbst in der Menge enthalten ist?!
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> Damit wollte ich ausdrücken, dass ich behaupte, dass 8 * [mm]\IZ[/mm] = [mm]\IZ...[/mm]
Hallo,
das ist sicher nicht der Fall.
Was bedeutet denn Gleichheit von Mengen? Jedes Element der rechten Menge liegt in der linken und jedes der linken in der rechten.
Du sagst selbst, daß dies nicht der Fall ist:
> Die Elemente wären halt nur ganze Zahlen,
> deren Teiler 8 ist... oder habe ich an dieser Stelle einen
> Denkfehler?
Nein.
Und jetzt mußt Du untersuchen, ob diese Zahlen einen Ring bilden.
>
>
> > Es ist [mm]-7* \IQ= \IQ[/mm] !!! Warum ?
>
> Genau hier steckt mein Problem... Einerseits würde ich
> behaupten, dass -7* [mm]\IQ[/mm] = [mm]\IQ[/mm] ist, da man ja in den
> rationalen Zahlen auch ganz normal die Rechengesetze der
> Multiplikation anwenden kann, da [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist.
???
Du mußt überprüfen, ob jedes Element von [mm] -7*\IQ [/mm] in [mm] \IQ [/mm] ist, und ob jede rationale Zahl ein Element von [mm] -7*\IQ [/mm] ist, ob man also jede rationale Zahl als "-7*rationale Zahl" schreiben kann.
> Aber -7 * [mm]\bruch{1}{7},[/mm] wäre ja [mm]\bruch{-7}{7}[/mm] = -1 ... ist
> das dann trotzdem eine rationale Zahl?
Ja.
> Vielleicht ist meine Frage total bescheuert, aber ich bin
> mir unklar darüber, ob ich sagen kann, dass die ganze Zahl
> (in meinem Beispiel die -1) eine rationale Zahl ist,
Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen - eigentlich lernt man das in der Schule. Es ist doch [mm] -1=\bruch{-1}{1}, [/mm] damit ist es augenfällig.
> oder
> ob ich die Menge ausschließen muss... aber im Prinzip ist
> die Menge der ganzen Zahlen ja in den rationalen Zahlen
> enthalten...
Sie ist enthalten.
>
> Könnte man dann sagen, dass die Ringeigenschaft (und auch
> die Körpereigenschaft) erhalten bleibt, wenn der Faktor
> vor der Menge, auch selbst in der Menge enthalten ist?!
Das solltest Du jetzt selbst mal überprüfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 14.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für die Antwort!
So langsam legt sich meine Verwirrung ein wenig! Immerhin habe ich jetzt Klarheit, was die Mengen betrifft :)
aber ich glaub auch, dass ich langsam ein wenig sicherer im Umgang mit Ring, Körper etc werde...
Bei 8 [mm] \IZ [/mm] ist es doch so, dass es kein Ring ist, weil das neutrale Element bezüglich * gar nicht existiert, da die 1 ja nicht mehr in der Menge enthalten ist, oder?
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