Riesenproblem Kurvendiskussion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mo 09.05.2005 | | Autor: | FlyGirl |
Hi,
ich hab mal wieder ein problem...oder mehrere. 
Ich komme bei 2 Aufgaben nicht weiter :(
a)
f(x)=x*ln*x
und b)
f(x)=ln [mm] (10-x^2)
[/mm]
bei der a) habe ich heraus,dass es keine symmetrie geibt, der def.bereich xR, x>0 ist, jedoch hänge ich voll an den ersten 3 ableitungen und NST,EST,WST
und bei der b) wurde mir als lösungen der ableitungen folgendes gegeben:
f '(x) = [mm] (-2x)*(10-x^2)^-1
[/mm]
f ''(x) = [mm] -2*(10-x^2)^-1+2x*(-2x)*(10-x^2)^-2
[/mm]
f(3)(x) = [mm] 2*(-2x)*(10-x^2)^-2+2*((2*(-2x))*(10-x^2)^-2-(-x*2*x)*2*(-2x)*(10-x^2)^-3)
[/mm]
aber wie zur hölle kommt man darauf? als nullstellen habe ich x1=-3 und x2=3, symm:achsensymmetrie,DB:xR,EST: Max(0/2,3025) (<<da weiss ich auch nicht, wie man drauf kommt ):
und keine Wendestellen.
Könnt ihr mir DRINGEND weiterhelfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/3.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Mo 09.05.2005 | | Autor: | DarkSea |
jo, ich hab leider grad keine zeit alle fragen zu beantworten, mal schaun...
erstmal zu b)
Du hast hier eine zusammengesetzte Funktion, die äußere die ln(u) und die innere ist [mm] (10-x^{2}). [/mm]
wenn du jetzt die erste ableitung bilden willst, musst du zunächst die äußere ableitung bilden.. die ableitung von ln(u) ist [mm] \bruch{1}{u} [/mm]
hier also: [mm] \bruch{1}{10 - x^{2}} [/mm] und das musst du jetzt mit der inneren ableitung multiplizieren(Kettenregel). die innere ableitung ist -2x ( 10 - [mm] x^{2} [/mm] abgeleitet.)
f'(x) = [mm] \bruch{1}{10 - x^{2}} [/mm] * -2x
und analog jetzt halt bei den anderen ableitungen, da musst du halt nur noch mit der produktregel arbeiten, da du hier jetzt 2 funktionen hast, die multipliziert werden.
auf die extremstelle kommst du einfach, indem du die erste ableitung = 0 setzt, und das passiert nur, wenn x = 0 ist, da [mm] \bruch{1}{10 - x^{2}} [/mm] nicht 0 werden kann.
meinst du bei a) x * ln(x) oder was soll das sein ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 09.05.2005 | | Autor: | FlyGirl |
ja,vielen dank erstmal.ist schonmal eine große hilfe!
stimmt, ich meinte das x*ln(x) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
die 1. Ableitung kannst Du natürlich auch etwas umschreiben (auf einen Bruchstrich) und anschließend mit der  Quotientenregel für die 2. Ableitung, wenn Dir das lieber ist ...
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{1}{10 - x^2} * (-2x) \ = \ \bruch{-2x}{10 - x^2}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo FlyGirl!
Ich gehe mal davon aus, daß Du meinst: $f(x) \ = \ [mm] x*\ln(x)$
[/mm]
> f(x)=x*ln*x
> bei der a) habe ich heraus,dass es keine symmetrie geibt,
> der def.bereich xR, x>0 ist, jedoch hänge ich voll an den
> ersten 3 ableitungen und NST,EST,WST
Definitionsbereich stimmt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") $D \ = \ [mm] \IR^+ [/mm] \ = \ [mm] \{ x \in \IR \ \left| \ x > 0 \ \}$
[/mm]
Auch die "Nicht-Symmetrie" hast Du richtig erkannt!
Für die Nullstellen müssen wir rechnen:
[mm] $x_N [/mm] * [mm] \ln\left(x_N\right) [/mm] \ = \ 0$
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null ist. Also:
[mm] $x_N [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $\ln\left(x_N\right) [/mm] \ = \ 0$
Kannst Du das lösen? Achtung: Definitionsbereich beachten!
Ableitungen
Für die 1. Ableitung müssen wir zwei Dinge beachten.
Zum ersten gilt: [mm] $\left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Dann müssen wir die Produktregel anwenden:
[mm] $\left( \ u * v \ \right)' [/mm] \ = \ u'*v + u*v'$
Kannst Du nun die 1. Ableitung $f'(x)$ bestimmen?
Die 2. und 3. Ableitung sind dann weniger schwer ...
Bevor wir uns über die Extremstellen / Wendestellen unterhalten, sollten wir erst das Problem der Ableitungen gelöst haben, oder?
Grüße
Loddar
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Hallo FlyGirl,
> und b)
>
> f(x)=ln [mm](10-x^2)[/mm]
> und bei der b) wurde mir als lösungen der ableitungen
> folgendes gegeben:
> f '(x) = [mm](-2x)*(10-x^2)^-1[/mm]
> f ''(x) = [mm]-2*(10-x^2)^-1+2x*(-2x)*(10-x^2)^-2[/mm]
> f(3)(x) =
> [mm]2*(-2x)*(10-x^2)^-2+2*((2*(-2x))*(10-x^2)^-2-(-x*2*x)*2*(-2x)*(10-x^2)^-3)[/mm]
> aber wie zur hölle kommt man darauf? als nullstellen habe
> ich x1=-3 und x2=3, symm:achsensymmetrie,DB:xR,EST:
> Max(0/2,3025) (<<da weiss ich auch nicht, wie man drauf
> kommt ):
> und keine Wendestellen.
wie die Ableitungen zustande kommen ist Dir ja wohl klar.
Die Ableitung von [mm]f(x)\; = \;\ln \;g(x)[/mm] ist [mm]
f'(x)\; = \;\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}[/mm]
Und für die weiteren Ableitungen wurde die Produkt- und Kettenregel angewendet.
Durch gleichnamigmachen kommt man auf eine bessere Darstellung. Daraus haben sich dann wohl die Werte ergeben, die Dir gegeben wurden.
Die Nullstellen bekommst Du heraus, wenn Du f(x) = 0 setzt. Konkret heisst das hier, wann gilt
[mm]\ln \;\left( {10\; - \;x^{2} } \right)\; = \;0[/mm]
Nun das gilt genau dann, wenn [mm]10\; - \;x^{2} \; = \;1[/mm]
Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Extremum: f'(x) = 0 => x = 0 => f(0) = ln 10
Zu guter letzt, noch eine andere Schreibweise für die Ableitungen:
[mm]\begin{array}{l}
f'(x)\; = \;\frac{{ - 2x}}{{10\; - \;x^{2} }} \\
f''(x)\; = \; - \frac{2}{{10\; - \;x^{2} }}\; - \;\frac{{4x^{2} }}{{\left( {10\; - \;x^{2} } \right)^{2} }} \\
f'''(x)\; = \; - \;\frac{{12x}}{{\left( {10\; - \;x^{2} } \right)^{2} }}\; - \;\frac{{16x^{3} }}{{\left( {10\; - \;x^{2} } \right)^{3} }} \\ \end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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