Riemannscher Abbildungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 30.01.2016 | | Autor: | Anjuta |
| Aufgabe | | Es sei G [mm] \subset \IC, [/mm] G [mm] \not= \IC [/mm] ein einfach zusammengängendes Gebiet, und es sei [mm] z_0 \in [/mm] G. Dann existiert eine konforme Abb [mm] \phi:G\rightarrow [/mm] S mit [mm] \phi(z_0)=0. [/mm] Insb sind G und S konform äquivalent. |
Den Satz beweisen wir in 3 Schritten.
Wir def eine F= [mm] \left\{\varphi \in H(G): \varphi(G) \subset S, \varphi \ injektiv, \varphi(z_0)=0\right\}
[/mm]
Z.z. ist: Es ex. ein [mm] \phi\in [/mm] F mit [mm] \phi(G)=S. [/mm]
so weit ist ja klar. dann zeigen wir, dass F nicht leer ist und dann kommen zwei Schritte die ich nicht verstehe.
2. Ist [mm] \varphi \in [/mm] F mit [mm] \varphi(G) \not= [/mm] S, so ex. ein [mm] \varphi_1 \in [/mm] F mit [mm] \left| \varphi_1'(z_0) \right| [/mm] > [mm] \left| \varphi(z_0)' \right|
[/mm]
3. und dann heißt es: nach 2. reicht es zu zeigen : Es ex. ein [mm] \phi\in [/mm] F mit [mm] \left| \phi'(z_0) \right| \ge \left| \varphi(z_0)' \right| (\varphi \in [/mm] F)
Warum reicht es das zu zeigen?? Folgt etwa daraus, dass [mm] \phi(G)=S [/mm] ???(S steht für den Einheitskreis) Für irgendwelche Tipps wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 31.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei G [mm]\subset \IC,[/mm] G [mm]\not= \IC[/mm] ein einfach
> zusammengängendes Gebiet, und es sei [mm]z_0 \in[/mm] G. Dann
> existiert eine konforme Abb [mm]\phi:G\rightarrow[/mm] S mit
> [mm]\phi(z_0)=0.[/mm] Insb sind G und S konform äquivalent.
> Den Satz beweisen wir in 3 Schritten.
> Wir def eine F= [mm]\left\{\varphi \in H(G): \varphi(G) \subset S, \varphi \ injektiv, \varphi(z_0)=0\right\}[/mm]
>
> Z.z. ist: Es ex. ein [mm]\phi\in[/mm] F mit [mm]\phi(G)=S.[/mm]
>
> so weit ist ja klar. dann zeigen wir, dass F nicht leer ist
> und dann kommen zwei Schritte die ich nicht verstehe.
> 2. Ist [mm]\varphi \in[/mm] F mit [mm]\varphi(G) \not=[/mm] S, so ex. ein
> [mm]\varphi_1 \in[/mm] F mit [mm]\left| \varphi_1'(z_0) \right|[/mm] >
> [mm]\left| \varphi(z_0)' \right|[/mm]
Was genau verstehst du da nicht? Das sagt nur: wenn das Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] nicht ganz $S$ ist, so gibt es ein [mm] $\varphi_1$ [/mm] aus $F$, welches in [mm] $z_0$ [/mm] eine betragsmässig grössere Ableitung hat.
> 3. und dann heißt es: nach 2. reicht es zu zeigen : Es ex.
> ein [mm]\phi\in[/mm] F mit [mm]\left| \phi'(z_0) \right| \ge \left| \varphi(z_0)' \right| (\varphi \in[/mm]
> F)
>
> Warum reicht es das zu zeigen?? Folgt etwa daraus, dass
> [mm]\phi(G)=S[/mm] ???(S steht für den Einheitskreis) Für
> irgendwelche Tipps wäre ich sehr dankbar.
Nun, wenn [mm] $\phi(G)$ [/mm] nicht gleich $S$ wäre, dann gäbe es nach 2. ein [mm] $\varphi_1 \in [/mm] F$ mit [mm] $|\varphi_1'(z_0)| [/mm] > [mm] |\phi'(z_0)|$, [/mm] womit nicht [mm] $|\phi'(z_0)| \ge |\varphi'(z_0)|$ [/mm] für alle [mm] $\varphi \in [/mm] F$ gelten kann.
Wenn du also zeigst, dass die Menge [mm] $\{ |\varphi'(z_0)| \mid \varphi \in F \}$ [/mm] ein Maximum (und nicht nur ein Supremum) besitzt, beweist du mit Hilfe von 2 den Riemannschen Abbildungssatz.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 31.01.2016 | | Autor: | Anjuta |
Hallo und vielen Dank für die Antwort.
> Wenn du also zeigst, dass die Menge [mm]\{ |\varphi'(z_0)| \mid \varphi \in F \}[/mm]
> ein Maximum (und nicht nur ein Supremum) besitzt, beweist
> du mit Hilfe von 2 den Riemannschen Abbildungssatz.
>
>
Heißt es, dass es im Prinzip ein Widerspruchsbeweis ist???
Den 2 Schritt hab ich so weit verstanden. Nur den 3 verstehe ich überhaupt nicht.
Ich verstehe den Sinn nicht?? Was wir da zeigen und wie, ist mir klar, ich verstehe nicht warum wir das tun. Und wenn wir also zeigen, dass die Menge ein Maximum besitzt was heißt es dann???
Hab schon überall nachgelesen und komme nicht weiter.. Aber ich würde das gerne verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 31.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wenn du also zeigst, dass die Menge [mm]\{ |\varphi'(z_0)| \mid \varphi \in F \}[/mm]
> > ein Maximum (und nicht nur ein Supremum) besitzt, beweist
> > du mit Hilfe von 2 den Riemannschen Abbildungssatz.
>
> Heißt es, dass es im Prinzip ein Widerspruchsbeweis ist???
Es ist eher eine Kontraposition. Aber man kann das auch als Widerspruch formulieren.
> Den 2 Schritt hab ich so weit verstanden. Nur den 3
> verstehe ich überhaupt nicht.
> Ich verstehe den Sinn nicht?? Was wir da zeigen und wie,
> ist mir klar, ich verstehe nicht warum wir das tun. Und
> wenn wir also zeigen, dass die Menge ein Maximum besitzt
> was heißt es dann???
Nun, es gibt eine Funktion [mm] $\varphi \in [/mm] F$ deren Ableitung in [mm] $z_0$ [/mm] betragsmässig grössergleich allen anderen Ableitungen von Funktionen in $F$ in der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] ist. Das heisst es gerade, dass das Maximum existiert.
Und mit Schritt 2 und Kontraposition folgt daraus, dass eine Funktion [mm] $\varphi$, [/mm] deren Ableitung das Maximum liefert, bereits [mm] $\varphi(G) [/mm] = S$ erfüllt.
LG Felix
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Hiho,
um dir das mal konkret zu benennen, was felix meint:
> Warum reicht es das zu zeigen?? Folgt etwa daraus, dass
> [mm]\phi(G)=S[/mm] ???(S steht für den Einheitskreis)
ja, das bedeutet es.
Denn: Nehme mal an, es gelte 3.) und [mm] $\phi(G) \not= [/mm] S$, dann folgt aus 2.) was? Das ist ein direkter Widerspruch zu 3.) und der Eigenschaft von [mm] $\phi$.
[/mm]
Folglich gilt [mm] $\phi(G) [/mm] = S$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Di 02.02.2016 | | Autor: | Anjuta |
vielen vielen Dank für eure Antworten. damit ist mir wenigstens klar geworden warum wir das alles tun. danke danke danke )))))
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