Riemannsche Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 02.07.2009 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe bei einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) mit Metrik g die Abhaengigkeit der Metrik g in jedem Punkt p [mm] \in [/mm] M nicht verstanden.
In jedem Punkt p [mm] \in [/mm] M habe wir ein inneres Produkt [mm] g_p. [/mm] Meine Frage ist, wozu macht man das, wenn beispielsweise M eie offene zusammenhaengende Teilmenge von [mm] R^n [/mm] ist? Die Tangentialebenen sind ja allesamt von der gleichen Dimension n-1 und man koennte stets das gleiche innere Produkt in jedem Punkt nehmen.
Beste Gruesse
j
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Do 02.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Also leider kenne ich mich noch nicht sehr damit aus, aber ich glaube soviel zu wissen, dass z.B. in der allgemeinen Relativitätstheorie solche riemannschen Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Raumzeit ist eine 4-dimensionale MF und die Metrik bzw das Skalarprodukt ändert sich einfach von Punkt zu Punkt und ist gegeben durch den metrischen Tensor. Kurz gesagt: man macht es weil es "handfeste Anwendungen" dafür gibt.
Natürlich sind die Tangentialräume in jedem Punkt gleich-dimensional, aber sie sind eben nicht "kanonisch isomorph" oder sowas.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 02.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Die Raumzeit ist eine 4-dimensionale MF
> und die Metrik bzw das Skalarprodukt ändert sich einfach
> von Punkt zu Punkt und ist gegeben durch den metrischen
> Tensor. Kurz gesagt: man macht es weil es "handfeste
> Anwendungen" dafür gibt.
Obacht hier: hier variert nicht ein Skalarprodukt, sondern, sondern eine symmterische Bilinaerform von Signatur (3,1) bzw. (1,3).
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Do 02.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> In jedem Punkt p [mm]\in[/mm] M habe wir ein inneres Produkt [mm]g_p.[/mm]
> Meine Frage ist, wozu macht man das, wenn beispielsweise M
> eie offene zusammenhaengende Teilmenge von [mm]R^n[/mm] ist? Die
> Tangentialebenen sind ja allesamt von der gleichen
> Dimension n-1 und man koennte stets das gleiche innere
> Produkt in jedem Punkt nehmen.
Könnte man - tut man aber nicht, es kommen andere Geometrien dabei raus! Also zu einer gegebenen Wahl von g hat man auf dieser Menge eine neue Metrik, und damit zB einen neuen Abstand von den Punkten in der Parametrisierung. Wichtig hierbei ist: man kann nicht im Allgemeinen durch einen Koordinatenwechsel gleichzeitig das innere Produkt [m]g_p[/m] überall gleich bekommen. Für unterschiedliche [m]g_p[/m] erhält man dann im Weiteren auch unterschiedliche Krümmungsgrößen, die Invariant unter Koordinatenwechsel sind. Auch die Form der Geodäten ändert sich entsprechend.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 06.07.2009 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
vielen Dank. Ich muss wohl noch einiges lernen, bevor mir das alles klar wird.
Beste Gruesse
j
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