Riemannsche Fläche Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Di 11.10.2011 | | Autor: | Moehre89 |
Hallo,
ich bereite mich grad auf ein Seminar vor und steh voll auf dem Schlauch. Es geht um holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flaechen. Eine Abbildung [mm] $f\colon X\rightarrow [/mm] Y$ heisst holomorph, falls $f$ stetig ist und fuer jedes Paar von Karten [mm] $\varphi_1$ [/mm] Karte auf $X$ und [mm] $\varphi_2$ [/mm] Karte auf $Y$ die Abbildung [mm] $\varphi_2\circ f\circ\varphi_1^{-1}$ [/mm] holomorph im ueblichen Sinn ist. Nun steht als Bemerkung da, dass [mm] $f\colon X\rightarrow [/mm] Y$ stetig ist, wenn fuer jede offene Teilmenge [mm] $V\subset [/mm] Y$ und fuer alle [mm] $\psi\colon V\rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] holomorph der Pull-Back [mm] $\psi\circ [/mm] f$ holomorph ist.
Wieso gilt diese Aussage? Wie zeige ich das? Ich steh grad total auf dem Schlauch. Waer nett, wenn ihr mir helfen koenntet.
Viele Gruesse,
Maria
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Di 11.10.2011 | | Autor: | felixf |
Hallo Maria,
> ich bereite mich grad auf ein Seminar vor und steh voll auf
> dem Schlauch. Es geht um holomorphe Abbildungen zwischen
> Riemannschen Flaechen. Eine Abbildung [mm]f\colon X\rightarrow Y[/mm]
> heisst holomorph, falls [mm]f[/mm] stetig ist und fuer jedes Paar
> von Karten [mm]\varphi_1[/mm] Karte auf [mm]X[/mm] und [mm]\varphi_2[/mm] Karte auf [mm]Y[/mm]
> die Abbildung [mm]\varphi_2\circ f\circ\varphi_1^{-1}[/mm] holomorph
> im ueblichen Sinn ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun steht als Bemerkung da, dass
> [mm]f\colon X\rightarrow Y[/mm] stetig ist, wenn fuer jede offene
Kann es sein, dass du hier holomorph meinst und nicht nur stetig?
> Teilmenge [mm]V\subset Y[/mm] und fuer alle [mm]\psi\colon V\rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> holomorph der Pull-Back [mm]\psi\circ f[/mm] holomorph ist.
Das liest sich recht unsauber. Holomorphe Funktionen sind immer auf offenen Mengen definiert, $V$ muss also offen sein. Und damit der Pullback holomorph sein kann, muss dieser ebenfalls auf einer offenen Menge definiert sein; da er aber auf [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] definiert ist, muss [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] also auch offen sein.
Was aber bedeutet, dass man die Stetigkeit von $f$ schon braucht, um ueberhaupt diese Eigenschaft nachzuweisen, aus der die Stetigkeit folgen soll.
Kann es sein, dass $f$ schon stetig sein soll und du zeigen willst, dass es holomorph ist?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 11.10.2011 | | Autor: | Moehre89 |
hey felix,
ja, du hast natuerlich recht ... ich will zeigen, dass f holomorph ist und stetigkeit wird vorausgesetzt. sorry, ich bin irgendwie da durcheinander bekommen.
lg
maria
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 11.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Maria!
> ich bereite mich grad auf ein Seminar vor und steh voll auf
> dem Schlauch. Es geht um holomorphe Abbildungen zwischen
> Riemannschen Flaechen. Eine Abbildung [mm]f\colon X\rightarrow Y[/mm]
> heisst holomorph, falls [mm]f[/mm] stetig ist und fuer jedes Paar
> von Karten [mm]\varphi_1[/mm] Karte auf [mm]X[/mm] und [mm]\varphi_2[/mm] Karte auf [mm]Y[/mm]
> die Abbildung [mm]\varphi_2\circ f\circ\varphi_1^{-1}[/mm] holomorph
> im ueblichen Sinn ist. Nun steht als Bemerkung da, dass
> ein stetiges [mm]f\colon X\rightarrow Y[/mm] holomorph ist, wenn fuer jede offene
> Teilmenge [mm]V\subset Y[/mm] und fuer alle [mm]\psi\colon V\rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> holomorph der Pull-Back [mm]\psi\circ f[/mm] holomorph ist.
>
> Wieso gilt diese Aussage? Wie zeige ich das? Ich steh grad
> total auf dem Schlauch. Waer nett, wenn ihr mir helfen
> koenntet.
Sei [mm] $\varphi_2 [/mm] : U [mm] \to \IC$ [/mm] eine Karte auf $Y$ und [mm] $\varphi_1 [/mm] : V [mm] \to \IC$ [/mm] eine Karte auf $X$. Wir wollen jetzt [mm] $\varphi_2 \circ [/mm] f [mm] \circ \varphi_1^{-1} [/mm] : [mm] \varphi_1(V) \to \varphi_2(U)$ [/mm] betrachten; damit das Sinn macht, waehlen wir die Karte [mm] $\varphi_1$ [/mm] so, dass $f(V) [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt; dies ist moeglich, da [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen in $X$ ist (da $f$ stetig).
Nach Voraussetzung ist das Pullback [mm] $\varphi_2 \circ [/mm] f : [mm] f^{-1}(V) \to \IC$ [/mm] von [mm] $\varphi_2$ [/mm] holomorph. Wir muessen jetzt die Definition verwenden, wann eine Funktion $g : U [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph ist. Das ist doch gerade der Fall, wenn fuer alle Karten [mm] $\varphi_1 [/mm] : V [mm] \to \IC$ [/mm] von $X$ mit $V [mm] \subseteq [/mm] U$ die Funktion $g [mm] \circ \varphi_1^{-1} [/mm] : [mm] \varphi_1(V) \to \IC$ [/mm] holomorph ist.
Mit $g = [mm] \varphi_2 \circ [/mm] f$ ist also - da $g$ holomorph ist - auch die Funktion $g [mm] \circ \varphi^{-1} [/mm] = [mm] \varphi_2 \circ [/mm] f [mm] \circ \varphi_1^{-1}$ [/mm] holomorph - was wir gerade zeigen wollten.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 11.10.2011 | | Autor: | Moehre89 |
hey felix,
vielen vielen dank ... du hast mir den vortrag gerettet ... ich hab irgendwie viel zu komliziert gedacht ... dankeschoen
lg
maria
|
|
|
|
