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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:09 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Es läßt mir keine Ruhe...
Sehe ich das so richtig:
Betrachten wir noch einmal die ein einfaches Beispiel, die Umkehrung von
g: \IC \to \IC; z\mapsto w=g(z)=z^2
Will man beide Zweige in der Umkehrung haben, muss man den Argumentbereich "mit Information ausstatten", welcher Zweig genommen werden soll.
D.h. man macht aus g eine neue Funktion, die in den Graphen von g abbildet. Aus diese Weise erhält man sicher eine umkehrbare Funktionen, weil die Verschiedenheit im Argument die Verschiedenheit im Bild erzwingt:
g_G: \IC \to Graph(g); z\to (z,g(z))=(z,z^2)
Diese Funktion kann man nun umkehren:
g_G^{-1}: Graph(g)\to \IC; (z,w)\mapsto z
In diesem Fall ist die Riemannfläche R der Umkehrung von g ist
R=\{(z,w)\in\IC^2: w^2=z\}
Was hat man gewonnen? Ich würde sagen
1) man ist die Mehrdeutigkeit losgeworden und
2) man ist die Unstetigkeit auf (0,\infty] losgeworden.
1) ist klar wegen der Verwendung des Graphen.
zu 2): Bleibt man in der normalen komplexen Zahlenebene, so gibt es mit w=\wurzel{z} ein Problem: Ein Weg, bei dem z die positive x-Achse passiert, führt zu einem Sprung im Realteil. Eine beliebig kleine Änderung bei z hätte eine endlichen Änderung bei w zur Folge so daß die Funktion hier nicht stetig ist.
Denn schaut man sich die Funktion w=z^2 an, dann sieht man, dass die obere Halbebene schon auf die komplette komplexe Zahlenebene abgebidet wird und zwar so, dass Punkte nahe und oberhalb der negativen x-Achse auf Punkte nahe und unterhalb der positven x-Achse abgebildet werden, aber Punkte nahe und oberhalb der positiven x-Achse nahe und oberhalb der postiven x-Achse bleiben:
(e^{i\epsilon})^2 ~ 1+2i\epsilon
(e^{i(\pi-\epsilon))^2 ~ 1-2i\epsilon
Für die Stetigkeit der z^2 Funktion macht das nichts. Aber die normale Wurzel wird unstetig.
Das sieht man auch daran, dass ein geschlossener Weg bei der Abbildung mit der "normalen" Wurzelfunktion nicht-geschlossen wird.
Geht man nun zur Riemannfläche
R=\{(z,w)\in\IC^2: w^2=z\} über so sieht man,
dass geschlossener Weg t\in[0,1]\mapsto z=e^{2\pi it} in der ersten Komponente noch nicht geschlossen wird in der zweiten. Man also noch einmal herumlaufen t\in[0,2]\mapsto z=e^{2\pi it}, erst dann erhält man in der Riemannfläche einen geschlossenen Weg.
Etwas ungenau könnte man sagen, R besteht aus einem \IC^+ und \IC^- und beim ersten Umlauf nimmt man den positiven Zweig und beim zweiten den negativen, bzw. wenn man die positive y-Achse passiert, muss man den Zweig wechseln, bzw. man muss es so interpretieren das man nun auf einem anderen Blatt der Riemanfläche ist, wo der andere Zweig der Funktion "lebt".
Richtig bis hierher?
Nun Fragen:
1) Macht es Sinn über den Abstand zweier z_1, z_2 zu reden die verschiedenen Blättern liegen?
2) Wenn ein Integral längs eines Weges von z_1 nach z_2 auszuwerten ist, welcher die y-Achse schneidet, dann sind die Punkt als auf verschiedenen Blättern gelegen zu interpretieren?
3) Wenn ein bestimmtes Integral für zwei z_1 z_2 auszuwerten ist, wobei die auf verschiedenen Blättern liegen sollen, muss dann ein Weg genommen werden der über die positve y-Achse führt?
4) Bestimmt man diese Integral einfach, indem man die Stammfunktionen zu den verschiedenen Zweigen nimmt?
5) Die obige Mehrdeutigkeit und das Auftreten der Unstetigkeit an der positiven x-Achse, sind das Phänomene die meistens zusammen auftreten , oder ist das hier Zufall?
6) Ich habe da Gefühl, dass i A. eine Riemannfläche R eine Teilmenge des \IC^2 ist, so daß für jedes q=(z,w)\in R es lokal also in einer Umgebung einen Graph einer Funktion gibt, der durch q läuft. So nach dem Motto f(z,w)=0 definiert eine Funktion, wenn die partiellen (komplexen! -> holomorph!) Ableitungen von f nach z und/oder w existieren und von Null verschieden sind (am besten beide). Dann kann man ja nach z oder w oder beiden auflösen. Die Umgebung aus \IC^2, in der das möglich ist, geschnitten mit R, muss den Graphen ergeben, d..h dort muss f(z,w)=0 sein. Richtig so in etwa?
7) Und wenn dann beide Ableitungen ungleich null sind, dann ist die Funktion soger invertier bar und in beide Richtungen holomorph, was bei der Wurzelfunktion (gelesen als f(q)=f(z,w)=w^2-z=0) nicht der Fall ist in q=(z,w)=(0,0). Deswegen wird man die Singularität auch auf der Riemannfläche nicht los. Richtig?
8) Wie betreibt man denn nun Integralrechnung auf R? Dient R nur zur Anschauung und zur konkreten Rechnung oder zieht man sich wieder auf Umgebungen in \IC zurück und verwendet gegebenenfalls entsprechende Zweige?
LG
gfm
Wenn ich es recht verstehe liegt das Problem an der Umkehrung nicht so sehr daran, dass zwei Zweige gibt, sondern daran, dass die Geschlossenheit eines Weges nicht erhalten bleibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Trat nach einem "{" - Fehler auf, wollte ich nicht. Sorry
Dann man die Löschen?
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Hi,
du kannst deine Artikel im Nachhinein bearbeiten.
Außerdem empfiehlt es sich, vor dem Absenden stets die Vorschaufkt. zu nutzen.
Ist aber halb so wild ... 
Gruß
schachuzipus
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