Riemanns. und Diff.quotient < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 17.06.2010 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
seien f(x) und g(x) differenzierbar, nun würde ich gerne die Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(x_i) *(g(x_i)-g(x_{i-1}))
[/mm]
in ein Riemannintegral überführen. (Das ganze hat einen physikalischen Hintegrund, d.h. das Integral muss die obige Summe nur approximeren, vorallem sei vorrausgesetzt, dass die Differenz [mm] x_i [/mm] - [mm] x_{i-1} [/mm] bei unserem physikalischen Problem sehr (beliebig) klein ist.)
Meine Idee war: [mm] \Delta x_i [/mm] := [mm] x_i [/mm] - [mm] x_{i-1}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(x_i) *(g(x_i)-g(x_{i-1}))
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} f(x_i) *\frac{(g(x_i)-g(x_{i-1}))}{\Delta x_i}* \Delta x_i
[/mm]
Da die [mm] \Delta x_i [/mm] im physikalischen Problem sowieso klein sind, werde ich sie jetzt hier im mathematischen Sinne eines Limes gegen 0 gehen lassen.
[mm] \limes_{\Delta x_i \rightarrow 0} \summe_{i=1}^{n} f(x_i) *\frac{(g(x_i)-g(x_{i-1}))}{\Delta x_i}*\Delta x_i
[/mm]
meine Frage: kann man zeigen, dass dann folgenden gilt?
[mm] \limes_{\Delta x_i \rightarrow 0} \summe_{i=1}^{n} f(x_i) *\frac{(g(x_i)-g(x_{i-1}))}{\Delta x_i}*\Delta x_i [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) \frac{d g(x)}{dx} dx}
[/mm]
Denn offensichtlich gilt
[mm] \limes_{\Delta x_i \rightarrow 0} *\frac{(g(x_i)-g(x_{i-1}))}{\Delta x_i} [/mm] = [mm] \frac{d g(x)}{dx}
[/mm]
Aber die Frage ist, ob das mit der Verschachtelung des Differenzenquotienten in der Riemannsumme immer noch funktioniert.
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> seien f(x) und g(x) differenzierbar, nun würde ich gerne
> die Summe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} f(x_i) *(g(x_i)-g(x_{i-1}))[/mm]
>
> in ein Riemannintegral überführen.
Wenn g "nur" differenzierbar ist , habe ich Zweifel , dass das geht.
Wenn mann noch fordert, dass g' Riemann- integrierbar ist, dann gehts gut.
Denn dann ist:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dg(x)}= \integral_{a}^{b}{f(x)*g'(x) dx}$
[/mm]
Einen Beweis dafür (mit Hilfe des Mittelwertsatzes) findest Du in
H: Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, § 92
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Do 17.06.2010 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
könntest du den Beweis bitte skizzieren? Ich kann ihn im Buch ![[]](/images/popup.gif) hier leider nicht finden.
Aber lässt sich das ganze nicht auch auf Integration durch Subtitution zurückführen?
[mm] \frac{dg(x)}{dx} [/mm] := g'(x)
=> dg(x) = g'(x)dx
=> [mm] \integral{f(g) dg} [/mm] = [mm] \integral{f(x) g'(x) dx}
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 20.06.2010 | | Autor: | Rutzel |
Ich sehe, ich habe obige Frage als Mitteilung geschrieben. Hiermit markiere ich sie als "Frage".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 20.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich sehe, ich habe obige Frage als Mitteilung geschrieben.
> Hiermit markiere ich sie als "Frage".
schau' auch mal hier.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 So 20.06.2010 | | Autor: | Rutzel |
Ah, vielen Dank! Das bringt mich schonmal weiter, wenn ich den Namen dafür kenne 
Gruß,
Rutzel
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