Riemann - Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 11.02.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=riemann8d71a.jpg |
Habe, die obige Definition für ein Riemann-Integral und verstehe aber nicht, wie man damit rechnet. Habe es soweit verstanden, dass man eine Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken annähert, verstehe aber nicht, wie man zwischen Obersumme und Untersumme unterscheiden kann, geschweigedenn, wie man damit rechnet. Ich bräuchte jemanden, der mir diese Formel erklärt, am besten anhand einer Aufgabe.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 11.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal teilst du das intervall in n Teile.
dann suchst du in jedem der intervalle den größten (sup) funktionswert und multiplizierst die Breite des intervalls damit. dann hast du ein rechteck, das größer ist, als die fläch unter der kurve (es sei denn sie ist konstant)
entsprechend nimmst du den kleinsten Wert inf und hast damit ein rechteck, das gkleiner ist.
Wenn die funktion, wie etwa [mm] f(x)=x^2 [/mm] zwischen 0 und 2 monoton wächst ist das supf jeweils [mm] f(x_{k+1} [/mm] das inf [mm] f(x_k)
[/mm]
ich teile das stück von 0 bis 2 in n=8 Teile.
[mm] x_0=0 x_n=2
[/mm]
dann hast du [mm] O=\summe_{i=0}^{7}(x_{i+1}-x_i)*(x_{i+1})^2
[/mm]
und [mm] U=\summe_{i=0}^{7}(x_{i+1}-x_i)*(x_{i})^2
[/mm]
Wenn ich die [mm] x_i [/mm] in gleichen abständen Wähle also [mm] x_0=0 x_1=2/8 x_8=8*2/8=2
[/mm]
dann hab ich
[mm] O=\summe_{i=0}^{7}(1/4*)((i+1)*1/4)^2
[/mm]
entsprechend U
zeichne einfach ein paar willkürliche Funktionen teil ein intervall in ein paar Teile und darin jeweils den größten und kleinsten wert und die entsprechenden Rechtecke. dann verkleinere die intervalle und mach dasselbe, um zu sehen, dass der Unterschied zw O und U kleiner wird und beide sich der Fläche unter dem Integral nähern.
die Zeichnungen findest du auch in
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 11.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Wie berechnen ich denn nun konkret dieses [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 11.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du berechnest sie nicht, sondern du wählst sie. Am häufigsten, indem du das gegebene Intervall in n gleiche Teile teilst, wenn das Intervall von a bis b geht also [mm] x_0=a [/mm] ; [mm] x_1=a+(a+b)/n,
[/mm]
[mm] x_i=a+i*(a+b)/n
[/mm]
habt ihr das in der Schule nicht gemacht?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 11.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, nehmen wir mal dein Beispiel mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] zwischen 0 und 1.
Ich mach das jetzt mal ganz grob und teile das in zwei Teile:
f(2)=4
f(1)=1
f(0)=0
Ingesamt hätte ich also:
A=4*1+1*1+0*1
Wenn ich das jetzt so lasse wäre das die Obersumme oder? Wie erhalte ich nun die Untersumme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 So 12.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, nehmen wir mal dein Beispiel mit [mm]f(x)=x^2[/mm] zwischen 0
> und 1.
meinst Du nicht: [mm] $0\,$ [/mm] und [mm] $\red{2}$?
[/mm]
Du willst am Ende also das Riemann-Integral [mm] $\int_0^2 [/mm] x^2dx$ berechnen. Und meinetwegen, sagen wir: erstmal approximativ, mit ein paar Ober- und Untersummen. Zur Übung berechnen wir hier erstmal die Ober- und Untersumme einer speziellen (sehr "einfachen") Zerlegung.
> Ich mach das jetzt mal ganz grob und teile das in zwei
> Teile:
Also $[0,2]=[0,1] [mm] \cup [1,2]\,.$ [/mm] Der Zerlegungsvektor ist also [mm] $(0,1,2)\,.$ [/mm] (Der Zerlegungsvektor enthält sozusagen immer die Grenzen der Zerlegungsintervalle und ist entsprechend "geordnet". Also $(0,1/2,1,7/4,2)$ würde bedeuten, dass man: $[0,2]=[0,1/2] [mm] \cup [/mm] [1/2,1] [mm] \cup [/mm] [1,7/4] [mm] \cup [/mm] [7/4,2]$ "betrachtet" (beachte $0 < 1/2 < 1 < 7/4 <2$). Je nach Definition stehen da vielleicht auch offene oder halboffene Intervalle - aber wesentlich ist das nicht! Integrale ändern ihre Werte nicht, wenn man die Funktion auf einer Lebesgue-Nullmenge abändert.)
> f(2)=4
Viel wichtiger: [mm] $4=f(2)=\sup \{f(x): x \in [1,2]\}\,.$
[/mm]
> f(1)=1
Auch hier: [mm] $1=\sup \{f(x): x \in [0,1]\}\,.$
[/mm]
> f(0)=0
Das wäre [mm] $0=\inf \{f(x): x \in [0,1]\}\,.$ [/mm] Das braucht man bei der Obersumme nicht (wohl aber bei der Untersumme)!
> Ingesamt hätte ich also:
>
> A=4*1+1*1+0*1
> Wenn ich das jetzt so lasse wäre das die Obersumme oder?
Ja, aber formal müßte da für die Obersumme [mm] $O\,$ [/mm] stehen
[mm] $$O=(2-1)*\sup \{f(x): x \inn [1,2]\}+(1-0)*\sup \{f(x): x \in [0,1]\}=1*4+1*1=5\,.$$
[/mm]
Das [mm] $0*1\,$ [/mm] am Ende passt nicht (zur Definition)! Es ändert natürlich nichts daran, dass Du auch "den richtigen Wert für die Obersumme berechnet hast". (Du hast halt quasi unnötigerweise nochmal 0 dazuaddiert.)
> Wie erhalte ich nun die Untersumme?
Naja, es ist [mm] $0=\inf \{f(x): x \in [0,1]\}$ [/mm] und [mm] $1=\inf\{f(x): x \in [1,2]\}\,.$ [/mm] Also
[mm] $$U=(1-0)*0+(2-1)*1=1\,.$$
[/mm]
P.S.:
Was man damit bisher weiß:
$$1 [mm] \le \int_0^2 [/mm] x^2dx [mm] \le 5\,.$$
[/mm]
Das ist also "sehr grob"!
Tipp:
Mach' Dir eine Skizze. Zeichne den Graphen von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $[0,2]\,.$ [/mm] Zur Untersumme:
Zeichne das (entartete) Rechteck (es ist also eigentlich eine Strecke, weil es "keine Höhe" hat) mit den Eckpunkten (alle in [mm] $\IR^2$) [/mm]
[mm] $$(0,0),\;(1,0),(1,\inf \{f(x): x \in [0,1]\}),(0,\inf \{f(x): x \in [0,1]\})$$
[/mm]
dessen Flächeninhalt berechnet sich (immer "Breite mal Höhe") zu [mm] $(1-0)*(\inf \{f(x): x \in [0,1]\}-0)=(1-0)*0=0\,,$
[/mm]
und das Rechteck mit den Eckpunkten
[mm] $$(1,0),(2,0),(2,\inf\{f(x): x \in [1,2]\}), (1,\inf\{f(x): x \in [1,2]\})$$
[/mm]
und berechne dessen Flächeninhalt:
[mm] $$(2-1)*(\inf\{f(x): x \in [1,2]\}-0)=(2-1)*(1-0)=1\,.$$
[/mm]
Die Summe der Flächeninhalte dieser beiden Rechtecke ist "die Untersumme" von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] bei obiger Zerlegung:
[mm] $$U=1+0\,.$$
[/mm]
Analog zur Obersumme:
Zeichne das Rechteck mit den Eckpunkten
[mm] $$(0,0),\;(1,0),(1,\sup \{f(x): x \in [0,1]\}),(0,\sup \{f(x): x \in [0,1]\})$$
[/mm]
dessen Flächeninhalt berechnet sich zu [mm] $(1-0)*(\sup \{f(x): x \in [0,1]\}-0)=(1-0)*1=1\,,$
[/mm]
und das Rechteck mit den Eckpunkten
[mm] $$(1,0),(2,0),(2,\sup\{f(x): x \in [1,2]\}), (1,\sup\{f(x): x \in [1,2]\})$$
[/mm]
und berechne dessen Flächeninhalt. Die Summe der Flächeninhalte dieser beiden Rechtecke ist "die Obersumme" von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] bei obiger Zerlegung.
Wenn Du Dir die Rechtecke mal einzeichnest (mache zwei Zeichnungen: Eine für die Untersumme, eine für die Obersumme - und beginne am besten mit der Obersumme, weil da beide Rechtecke auch "wirkliche Rechtecke" sind), dann siehst Du vielleicht auch, warum man "Obersumme" auch den Begriff "Obersumme" gegeben hat:
Der Flächeninhalt eines jeden Rechtecks "bei der Obersummenbetrachtung" ist sicher größer als der Flächeninhalt der Fläche, die [mm] $f\,,$ [/mm] eingeschränkt auf "die Rechteckbreite", mit der [mm] $x\,$-Achse [/mm] einschließt. Beachte, dass ich hier Flächeninhalt im Sinne von "Flächeninhalte sind immer [mm] $\ge [/mm] 0$" meine!
P.P.S.:
Um den "Sinn" von [mm] $\sup \{f(x): x \in I\}$ [/mm] in den Definition von Ober- und Untersumme einzusehen: Beachte, dass es Funktionen gibt, die dieses Supremum nicht annehmen. (Akademisches) Beispiel:
[mm] $f(x):=\sin(x)\,$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] I:=[0, [mm] \pi] \setminus \{\pi/2\}$ [/mm] und [mm] $f(\pi/2):=0\,.$ [/mm] Hier ist [mm] $\sup \{f(x): x \in I\}=1\,,$ [/mm] aber das Supremum ist kein Maximum!
Und hier wäre für [mm] $[0,\pi]$ [/mm] mit dem Zerlegungsvektor [mm] $(0,\pi/2,\pi)$ [/mm] dann etwa die Obersumme
[mm] $$O=(\pi/2-0)*(1-0)+(\pi-\pi/2)*(1-0)=\pi$$
[/mm]
die Untersumme
[mm] $$U=(\pi/2-0)*(0-0)+(\pi-\pi/2)*(0-0)=0\,.$$
[/mm]
Nebenbei:
Was mir hier immer noch nicht gefällt, ist, dass der Eindruck entsteht, dass die Funktionen auf jedem der"Zerlegungsintervallen" fast überall monoton sind. Das muss nicht sein, die können da "quasi auch wild hin und her oszillieren". Wichtig ist, wenn man Ober-/Untersumme berechnen will, dass man auf einem solchen Intervall halt das Supremum bzw. das Infimum bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] angeben kann (und beweisen kann, dass das, was man angibt, auch korrekt ist). Und was auch noch ein wenig unschön ist: Alle unsere betrachteten Funktionen haben ein Integral [mm] $\ge [/mm] 0$ - auf jeder Einschränkung einer jeden Teilmenge des Definitionsbeweises. Aber letzteres ist erstmal nicht so schlimm. Später wird das sicher mal klarer werden (wenn man etwa $f [mm] \le [/mm] 0$ betrachtet).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 12.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Das war sehr ausführlich erklärt, danke, ich denke ich habe es nun verstanden!
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