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| Aufgabe | Seien [mm]f,g : [0,1] \to \IR[/mm] definiert durch [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \neq \frac{1}{2} \\
1, & \mbox{falls } x = \frac{1}{2} \end{cases}[/mm] und [mm]g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \notin \{ \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \}\\
1, & \mbox{falls } x \in \{ \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \} \end{cases}[/mm]
Zeigen Sie durch die Definition des Riemann-Integrals, dass [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] riemann-integrierbar sind und berechnen sie [mm] \int\limits_0^1 f(x) dx [/mm] und [mm] \int\limits_0^1 g(x) dx [/mm]. |
Ich beziehe mich hier nur auf [mm]f[/mm], für [mm]g[/mm] geht das Ganze dann ja mehr oder weniger analog. Mein Ansatz:
Für die Untersumme gilt in jedem Fall [mm]\underline{I} = 0[/mm], da ja in jedem Intervall mindestens eine Null vorkommt und daher das Infimum immer null ist.
Die Obersumme kann man nach oben abschätzen durch [mm]\overline{I} = 2* {\delta}(Z)[/mm], wobei [mm]{\delta}(Z)[/mm] die Länge des größten Intervalls bezeichnet (2, weil [mm]\frac{1}{2}[/mm] auch in zwei Intervallen enthalten sein kann). Für immer feiner werdende Zerlegungen geht natürlich [mm]{\delta}(Z)[/mm] gegen null. Reicht das zum Nachweis der Riemann-Integrabilität aus? In diesem Fall wäre [mm]\int\limits_0^1 f(x) dx = 0[/mm].
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 31.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 01.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f,g : [0,1] \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \neq \frac{1}{2} \\
1, & \mbox{falls } x = \frac{1}{2} \end{cases}[/mm]
> und [mm]g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \notin \{ \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \}\\
1, & \mbox{falls } x \in \{ \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \} \end{cases}[/mm]
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> Zeigen Sie durch die Definition des Riemann-Integrals, dass
> [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] riemann-integrierbar sind und berechnen sie
> [mm]\int\limits_0^1 f(x) dx[/mm] und [mm]\int\limits_0^1 g(x) dx [/mm].
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> Ich beziehe mich hier nur auf [mm]f[/mm], für [mm]g[/mm] geht das Ganze dann
> ja mehr oder weniger analog. Mein Ansatz:
> Für die Untersumme gilt in jedem Fall [mm]\underline{I} = 0[/mm],
Wenn Du mit [mm] \underline{I} [/mm] das untere Integral meinst, so stimmt das.
> da ja in jedem Intervall mindestens eine Null vorkommt und
> daher das Infimum immer null ist.
> Die Obersumme kann man nach oben abschätzen durch
> [mm]\overline{I} = 2* {\delta}(Z)[/mm], wobei [mm]{\delta}(Z)[/mm] die Länge
> des größten Intervalls bezeichnet (2, weil [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> auch in zwei Intervallen enthalten sein kann).
Wenn Du mit [mm] \overline{I} [/mm] das obere Integral meinst, so ist [mm]\overline{I} \le 2* {\delta}(Z)[/mm],
> Für immer
> feiner werdende Zerlegungen geht natürlich [mm]{\delta}(Z)[/mm]
> gegen null. Reicht das zum Nachweis der
> Riemann-Integrabilität aus?
Ja, dann ist [mm]\overline{I} =0=\underline{I}[/mm],
> In diesem Fall wäre
> [mm]\int\limits_0^1 f(x) dx = 0[/mm].
Ja
FRED
> Vielen Dank schonmal im
> Voraus!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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