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| Aufgabe | Untersuchen Sie ob die folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren und berechnen Sie gegebenfalss ihren Grenzwert.
1.) [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{dx}{(x^2+1)}}
[/mm]
2.) [mm] \integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}}
[/mm]
3.) [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{dx}{(x^2+4)}} [/mm] |
ich habe erstmal die Stammfunktionen gebildet, da kommt das raus:
1.) [mm] [(arctan(0))-(arctan(\infty))]
[/mm]
2.) ([arcsin(-1))-(arcsin(1))]
3.) [mm] [(\bruch{1}{2}arctan(\bruch{0}{2})- (\bruch{1}{2}arctan(\bruch{\infty}{2})]
[/mm]
meine Frage ist: woher weiß ich jetzt, ob diese Riemann-Integrale existieren, also worauf muss man da genau schauen. Und bei dem Grenzwert, muss ich da den Grenzwert vom Integral berechnen oder wie ist das gemeint?
Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand weiter helfen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mi 07.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Untersuchen Sie ob die folgenden uneigentlichen
> Riemann-Integrale existieren und berechnen Sie gegebenfalss
> ihren Grenzwert.
> 1.) [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{dx}{(x^2+1)}}[/mm]
> 2.)
> [mm]\integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}}[/mm]
> 3.)
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{dx}{(x^2+4)}}[/mm]
> ich habe
> erstmal die Stammfunktionen gebildet, da kommt das raus:
> 1.) [mm][(arctan(0))-(arctan(\infty))][/mm]
> 2.) ([arcsin(-1))-(arcsin(1))]
> 3.) [mm][(\bruch{1}{2}arctan(\bruch{0}{2})- (\bruch{1}{2}arctan(\bruch{\infty}{2})][/mm]
falsch, das sind keine Stammfunktionen, sondern konkrete Werte bzw. unsinnige Ausdrücke.
Die Stammfunktion zum ersten Integral ist [mm] $\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}=\arctan [/mm] x$
Außerdem kann man [mm] $\infty$ [/mm] als Grenze nicht einfach einsetzen, denn unendlich ist keine Zahl.
Um [mm] $\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}$ [/mm] zu berechnen, bestimme erstmal: [mm] $\int_0^a\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}$ [/mm] und betrachte dann den Grenzübergang [mm] $\lim_{a\to\infty}$
[/mm]
>
> meine Frage ist: woher weiß ich jetzt, ob diese
> Riemann-Integrale existieren, also worauf muss man da genau
> schauen. Und bei dem Grenzwert, muss ich da den Grenzwert
> vom Integral berechnen oder wie ist das gemeint?
>
> Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand weiter helfen
> kann.
>
Gruß,
notinX
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wie kann ich denn dieses a bestimmen, also ich weiß es könnte jetzt etwas zu viel verlangt sein, aber könntest du mir ein Beispiel vormachen...das wäre total super
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 07.12.2011 | | Autor: | notinX |
> wie kann ich denn dieses a bestimmen, also ich weiß es
Gar nicht, a ist zunächst völlig beliebig. Es ist auch gar nicht Teil der Aufgabe a zu bestimmen. Das ist nur ein Hilfsmittel, weil man eben nicht direkt [mm] $\infty$ [/mm] in eine Funktion einsetzen kann.
> könnte jetzt etwas zu viel verlangt sein, aber könntest
> du mir ein Beispiel vormachen...das wäre total super
Versuch Du es doch erstmal, wenns nicht klappt helfe ich gerne.
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ok, ich habe jetzt mal versucht etwas zu machen, hoffe, dass es kein Quatsch ist:
[mm] \integral_{0}^{a}{1/(x^2+1) dx} [/mm] = [arctanx]= - arctan(a) für [mm] a\to \infty [/mm]
Da dieser Grenzwert in R existiert ist also f über [mm] [0;\infty [/mm] ] uneigentlich Riemann integrierbar?
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> ok, ich habe jetzt mal versucht etwas zu machen, hoffe,
> dass es kein Quatsch ist:
> [mm]\integral_{0}^{a}{1/(x^2+1) dx}[/mm] = [arctanx]= - arctan(a)
> für [mm]a\to \infty[/mm]
> Da dieser Grenzwert in R existiert ist also f über
> [mm][0;\infty[/mm] ] uneigentlich Riemann integrierbar?
fast richtig, bis auf das Vorzeichen. Es ist [mm] \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a), [/mm] wenn F eine Stammfuktion von f ist, d.h. die obere Grenz kriegt ein +
Ansonsten ist deine Argumentation korrekt.
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super vielen Dank, ist dann der Grenzwert auch arctan( a) oder muss ich den noch berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 07.12.2011 | | Autor: | notinX |
> super vielen Dank, ist dann der Grenzwert auch arctan( a)
nein, a ist nur eine beliebige reelle Zahl.
> oder muss ich den noch berechnen?
Ja, der muss laut Aufgabenstellung berechnet werden.
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[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] arctan(x) = 90
kann das stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] arctan(x) = 90
Meinst Du 90° ? Das stimmt dann, aber wir messen im Bogenmaß, also:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] arctan(x) = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
FRED
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> kann das stimmen?
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