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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen zwischen dem Paraboloid, gegeben durch z = 1-x²-y² und der xy-Ebene in R³. |
ich hab das prinzip des riemann-integrals mit obersummen und untersummen verstanden, aber ich habe probleme mit dem ansatz. im prinzip muss ich doch die eckpunkte des paraboloids auf der xy-ebene berechnen und dann in N rechtecke aufteilen, wobei die höhe durch die funktion
f(x,y)=1-x²-y² gegeben ist.
stimmt das soweit oder denk ich da falsch?
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Hallo Mathe_001,
deutet die Doppelnull auf die Lizenz zum Rechnen? 
> Berechnen Sie das Volumen zwischen dem Paraboloid, gegeben
> durch z = 1-x²-y² und der xy-Ebene in R³.
>
> ich hab das prinzip des riemann-integrals mit obersummen
> und untersummen verstanden, aber ich habe probleme mit dem
> ansatz. im prinzip muss ich doch die eckpunkte des
> paraboloids auf der xy-ebene berechnen und dann in N
> rechtecke aufteilen, wobei die höhe durch die funktion
> f(x,y)=1-x²-y² gegeben ist.
>
> stimmt das soweit oder denk ich da falsch?
"Eckpunkte" des Paraboloids ist auch gut...
Das Paraboloid schneidet die xy-Ebene in einem Kreis, offensichtlich mit der Gleichung [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
Wenn Du diesen Kreis jetzt aber "scheibchenweise" in lange, schmale Rechtecke zerlegst, kannt Du die Lösung schlecht einschachteln. Die Obersumme funktioniert dabei etwas besser als die Untersumme, die nämlich 0 bleibt, egal was Du tust.
Es ist also bestimmt besser, eine andere Zerlegung zu nehmen und z.B. das hier zu berechnende Stück des Paraboloids waagerecht zu schneiden. Das Volumen einer Scheibe zwischen z=a und z=b ist dann leicht zu berechnen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Mathe_001 |
ich hab das jetzt mit den endpunkten gemacht und komme auf 4/3 ... ist das ergebnis logisch bzw ... könnte es richtig sein?
gruß
Mathe_001
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ok es kommt [mm] 0.5\pi [/mm] raus ... diesmal sollte es richtig sein :)
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Hallo nochmal,
kleiner Tipp vorweg: dies ist weder ein Chat noch eine Antwortmaschine. Du hast mit echten Menschen zu tun, so wie Du selbst einer bist. Wir legen daher Wert darauf, uns hier wenigstens knapp zu begrüßen oder zu verabschieden oder auch beides.
Dein erstes Ergebnis kann nicht richtig sein, da es sich um einen Rotationskörper handelt, man also ein [mm] \pi [/mm] in der Lösung erwarten sollte, wenn nicht gerade Radius oder Höhe dieses eliminieren sollten. Da beide =1 sind, liegt dieser Fall nicht vor.
> ok es kommt [mm]0.5\pi[/mm] raus ... diesmal sollte es richtig sein
> :)
Hm. Vielleicht solltest Du mal vorrechnen, damit man den Weg nachvollziehen kann. Richtig ist das Ergebnis jedenfalls.
Plausibel wären Ergebnisse im Bereich [mm] \bruch{1}{3}\pi
Warum also gerade [mm] \bruch{1}{2}\pi [/mm] ?
Die Einschachtelung kommt hier von den Volumina des Kegels und der Halbkugel mit gleichem Radius auf der Grundfläche und gleicher Höhe. Deren Verhältnis (zueinander und zum Zylinder) kannte schon Euklid.
Das Paraboloid ist offenbar kleiner als die Halbkugel, aber größer als der Kegel. Nur um wieviel?
Grüße
reverend
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen zwischen dem Paraboloid, gegeben durch z = 1-x²-y² und der xy-Ebene in R³. |
Servus,
also... ich weiß, dass das Paraboloid die xy-ebene in einem Kreis schneidet
-> x²+y²=1
Nun zur Frage: Ich weiß nicht, wie ich da jetzt vorgehen soll.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Bitte daher um Hilfe
Gruß > Berechnen Sie das Volumen zwischen dem Paraboloid, gegeben
> durch z = 1-x²-y² und der xy-Ebene in R³.
> ich hab das prinzip des riemann-integrals mit obersummen
> und untersummen verstanden, aber ich habe probleme mit dem
> ansatz. im prinzip muss ich doch die eckpunkte des
> paraboloids auf der xy-ebene berechnen und dann in N
> rechtecke aufteilen, wobei die höhe durch die funktion
> f(x,y)=1-x²-y² gegeben ist.
>
> stimmt das soweit oder denk ich da falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du berechnest das 3 Fachintegral über dzdxdy und nimmst die richtigen grenzen.
b) du rechnest in Zylinderkoordinaten.
c) du schneidest in Scheiben der Dicke dz deren
Radius r(z), Volumen [mm] \pi*r^2(z)*dz [/mm] wird aufaddiert (integriert)
ich denk das letzte ist am einfachsten, das wurde dir aber schon im ersten post gesagt. du musst nur noch r(z) hinschreiben!
gruss leduart
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