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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 25.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Richtungsvektor(en) von Gerade und Ebene unterscheiden sich, je nachdem, welchen Aufpunkt ich wähle? Warum?
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Bisher war ich der Meinung, dass
1. eine Gerade durch Aufpunkt und einen Richtungsvektor festgelegt ist.
D.h. dass ich, egal welchen Aufpunkt ich wähle, denselben Richtungsvektor erhalte bzw. ein Vielfaches von dem Richtungsvektor.
Beispiel:
P1(1/2/3) , P2(2/3/4)
g: [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
???
2. eine Ebene durch Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren festgelegt ist.
D.h. dass ich, egal welchen Aufpunkt ich wähle, dieselben Richtungsvektoren erhalte bzw. ein Vielfaches der Richtungsvektoren.
Die Aufpunkte liegen doch in der Ebene?
Dies scheint aber nicht der Fall zu sein!?
Leider kann ich mir das räumlich (grafisch) nur sehr schwer vorstellen, wie das aussieht, wenn man eine Ebene durch einen Aufpunkt a und die beiden Richtungsvektoren beschreibt,
und wie/warum sich die Richtungsvektoren ändern, wenn man einen anderen Aufpunkt b wählt.
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 25.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Richtungsvektor(en) von Gerade und Ebene unterscheiden
> sich, je nachdem, welchen Aufpunkt ich wähle? Warum?
>
>
> Bisher war ich der Meinung, dass
>
> 1. eine Gerade durch Aufpunkt und einen Richtungsvektor
> festgelegt ist.
> D.h. dass ich, egal welchen Aufpunkt ich wähle, denselben
> Richtungsvektor erhalte bzw. ein Vielfaches von dem
> Richtungsvektor.
>
> Beispiel:
>
> P1(1/2/3) , P2(2/3/4)
>
> g: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + r
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> ???
>
>
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> 2. eine Ebene durch Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren
> festgelegt ist.
> D.h. dass ich, egal welchen Aufpunkt ich wähle, dieselben
> Richtungsvektoren erhalte bzw. ein Vielfaches der
> Richtungsvektoren.
>
> Die Aufpunkte liegen doch in der Ebene?
>
>
>
> Dies scheint aber nicht der Fall zu sein!?
Warum nicht? Bisher steht hier eigentlich nur etwas Richtiges ...
Es kann sein, wenn du zwei Punkte einer Geraden gegeben hast, du einen als Aufpunkt wählst und die Differenz beider Punkte als Richtungsvektor nimmst, dass dann bei einer anderen Wahl des ersten Punktes, den du als Aufpunkt nimmst auch einen anderen Richtungsvektor bekommst.
Genauer : du bekommst [mm] $\lambda [/mm] *v$ wobei v dein Richtungsvektor vorher war und Lambda eine relle Zahl, d.h. der Vektor zeigt schon noch in dieselbe Richtung, aber hat evtl andere Länge durch diese Wahl oben.
Bei der Ebene gilt ähnliches : alle Richtungsvektoren kannst du dir als Linearkombinationen deiner zuerst berechneten darstellen - nur wenn du eben 3 Punkte gegeben hast und die Differenzen als Richtungsvektoren nimmst, ändern sich diese, wenn du den ersten Punkt veränderst.
allerdings muss man die Richtungsvektoren keinesfalls ändern, sondern nur den Aufpunkt, wenn man denn möchte.
Wie kommst du also darauf, dass dies falsch wäre?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 25.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin,
wie gesagt, bisher war ich der Meinung, dass die Richtungsvektoren von gerade und Ebene nicht verändern, wenn ich einen anderen Aufpunkt wähle; [bis auf einen anderen Wert für den bzw. die Parameter r und s / was ja nichts anderes als die linieare Abhängigkeit demonstriert]. |
Nun habe ich eine Methode der Umformung einer Ebenengleichung von Koordinatenform in Parameterform kennen gelernt, und dabei ergeben sich für dieselbe Ebene teilweise verschiedene [linear unabhängige Vektoren]. Und da frage ichmich, warum???
E: x - 5y +2z = 24
1. Mglkt
nach x auflösen: x= 24 + 5r -2s
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{24 + 5r -2s\\ r \\ s}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{24 \\0 \\0} [/mm] + r [mm] \vektor{5 \\1 \\0} [/mm] + s [mm] \vektor{-2 \\0 \\1}
[/mm]
2. Mglkt
nach y auflösen: y= -24/5 + 1/5r + 2/5s
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{r \\ -24/5 + 1/5r + 2/5s \\ s}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\-24/5 \\0} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\1/5 \\0} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 2/5 \\1}
[/mm]
3. Mglkt
nach z auflösen: z= 12 - 1/2r + 5/2s
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s \\ 12 - 1/2r + 5/2s}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\12} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\0 \\-1/2} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\1 \\5/2}
[/mm]
[ich hoffe, ich habe bei 2. Mglkt keinen fehler gemacht]
Wie gesagt, warum komme ich auf diesen drei Wegen zu unterschiedlichen Richtungsvektoren für dieselbe Ebene???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Walde |
hi wolfgang,
das braucht dich nicht zu beunruhigen. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten einunddieselbe Ebene darzustellen. Ein beliebiger Punkt der Ebene als Stützvektor (Aufpunkt) und zwei völlig beliebige (linear unabhängige) Vektoren, die in der Ebene liegen, sind ausreichend.
Stell dir das Ziffernblatt einer Uhr als (Teil einer) Ebene vor. Solange die zwei Zeiger nicht komplett übereinander (oder genau gegenüber) liegen, sind sie immer als Spannvektoren geeignet. Obwohl sie dauernd in andere Richtungen zeigen, spannen sie immer diesselbe Ebene auf.
Ist es dir etwas klarer geworden?
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Sa 25.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
hallo walde,
das passt ja. die zeiger der uhren, zur sommerzeit. quasi justintime. ich nehm das bild mal mit in den schlaf. glaube, aber schon jetzt, dass es mir
weitergeholfen hat.
danke.
wolfgang
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