Richtungsbestimmung einer Fkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 03.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | f(x,y,z) = 1 + y² - z P=(1,1,1)
Aufgabe: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt P |
Zuerst muss man die partiellen Ableitungen berechnen und die sehen so aus:
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] x = 0
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = 2y
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] z = -1
Weiter komme ich leider nicht. Bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Do 03.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> f(x,y,z) = 1 + y² - z P=(1,1,1)
>
> Aufgabe: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs im
> Punkt P
Das ist der Gradient der Funktion an diesen Punkt, [m]\nabla f(x,y,z)[/m]
> [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] x = 0
x Koordinate des Gradienten.
> [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] y = 2y
y Koordinate des Gradienten.
> [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] z = -1
z Koordinate des Gradienten.
Jetzt musst du natürlich noch die x,y,z-Erte von deinem P oben einsetzen! Hast du ein Skript oder eine Vorlesung? Woher weisst du denn, dass man die partiellen Ableitungen berechnen muss?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 03.04.2008 | | Autor: | medion |
Danke für deine Hilfe!
Das mit der partiellen Ableitung weiß ich von den Folien, die die Professorin in der Vorlesung verwendet.
Ok, das heißt dann:
0 |p = 0
2y |p = 2
-1 |p = -1
Als Lösung schreibt man dann: grad (f)|p = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
stimmt das?
Wie lautet jetzt die Antwort auf die Frage: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 03.04.2008 | | Autor: | medion |
Habe noch ein anderes Bsp gefunden, dass meiner Meinung nach ein Stückchen komplizierter ist:
f(x,y,z) = [mm] \wurzel{x²+y²+z²}
[/mm]
P = (a,b,c)
die partiellen Ableitungen lauten:
für x: [mm] x/\wurzel{x²+y²+z²}
[/mm]
für y: [mm] y/\wurzel{x²+y²+z²}
[/mm]
für z: [mm] z/\wurzel{x²+y²+z²}
[/mm]
dann die Werte eingesetzt:
[mm] x/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] a/\wurzel{a²+b²+c²}
[/mm]
[mm] y/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] b/\wurzel{a²+b²+c²}
[/mm]
[mm] z/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] c/\wurzel{a²+b²+c²}
[/mm]
Lösung wäre hier: grad (f)|p = [mm] \vektor{a/\wurzel{a²+b²+c²} \\ b/\wurzel{a²+b²+c²} \\ c/\wurzel{a²+b²+c²}}
[/mm]
So, und jetzt ist die Frage interessant: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P!
Würde sagen, dass die Funktion in alle Richtungen gleich stark ansteigt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Do 03.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Lösung wäre hier: grad (f)|p = [mm]\vektor{a/\wurzel{a²+b²+c²} \\ b/\wurzel{a²+b²+c²} \\ c/\wurzel{a²+b²+c²}}[/mm]
Ja.
> So, und jetzt ist die Frage interessant: Bestimme die
> Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P!
Naja, "interessant" - wieder der Gradient.
> Würde sagen, dass die Funktion in alle Richtungen gleich
> stark ansteigt, oder?
Nein, sicher nicht - radial nach außen nimmt die Funktion zu, auf Kugelobefrlächen ist sie konstant.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 03.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> stimmt das?
Ja.
> Wie lautet jetzt die Antwort auf die Frage: Bestimme die
> Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P?
Das ist der ![[]](/images/popup.gif) Gradient, den wir berechnet haben.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Do 03.04.2008 | | Autor: | medion |
Achso, dann habe ich das völlig falsch verstanden...
Dachte nämlich, bei dem vorigen Bsp wo die Lösung folgendes war:
grad (f)|p = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
ist die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion y, weil bei y die höchste Zahl der Lösung (nämlich 2) steht.
OK, also heißt das, dass die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P einfach der Gradient (wie auch immer dieser aussehen mag) ist?
Danke für deine weltklasse Hilfe!!
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 03.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> OK, also heißt das, dass die Richtung des stärksten
> Anstiegs der Funktion im Punkt P einfach der Gradient (wie
> auch immer dieser aussehen mag) ist?
Ja. Mach dir das am besten noch mal anschaulich klar - zB bei der Norm (deiner zweiten Funktion).
SEcki
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