Richtungsableitung beschränkt? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mi 06.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Erläutern Sie:
(a) Was ist die Richtungsableitung?
(b) Welche Rolle spielt dabei der Gradient?
(c) Welchen maximalen und minimalen Wert kann diese Richtungsableitung annehmen ? |
(a) Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate einer Funktion in eine bestimmte Richtung (an einem bestimmten Punk $ [mm] x_0 [/mm] $), die durch einen Vektor gegeben ist.
(b) Der Gradient einer Funktion liefert die Richtung des steilsten Anstiegs.
(c) Was ist hier gefragt?
Ich denke an 2 Antworten:
1) Die Richtungsableitung kann maximal gleich des steilsten Anstiegs und minimal gleich des steilsten Abstiegs sein. Also $ max/min = +/- [mm] \bruch{grad f(\vec{x_0})}{||grad f(\vec{x_0})||} [/mm] $
oder 2)
Die Menge der steilsten Anstiege/Abstiege im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] $ aller in $ [mm] x_0 [/mm] $ stetigen, partiell differenzierbaren Funktionen $ f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] $ ist allerdings nicht beschränkt. Also es soll heißen, dass sich zu jeder Funktion f eine Funktion g finden läßt, deren steilster Anstieg in einem bestimmten Punkt größer ist als der steilste Anstieg der Funktion f. Also $ max/min = +/- [mm] \infty [/mm] $
Hab gerade beim Schreiben gemerkt, wahrscheinlich ist Antwort 1) die richtige, oder?
thx :)
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> Erläutern Sie:
> (a) Was ist die Richtungsableitung?
> (b) Welche Rolle spielt dabei der Gradient?
> (c) Welchen maximalen und minimalen Wert kann diese
> Richtungsableitung annehmen ?
> (a) Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate einer
> Funktion in eine bestimmte Richtung (an einem bestimmten
> Punk [mm]x_0 [/mm]), die durch einen Vektor gegeben ist.
>
> (b) Der Gradient einer Funktion liefert die Richtung des
> steilsten Anstiegs.
>
> (c) Was ist hier gefragt?
>
> Ich denke an 2 Antworten:
> 1) Die Richtungsableitung kann maximal gleich des
> steilsten Anstiegs und minimal gleich des steilsten
> Abstiegs sein. Also [mm]max/min = +/- \bruch{grad f(\vec{x_0})}{||grad f(\vec{x_0})||}[/mm]
Vielleicht etwas genauer:
1.) Die Steigung der Richtungsableitung wird für [mm] |gradf(\vec{x}_{0})| [/mm] maximal und zeigt dabei in die Richtung des Gradienten.
2.) Die Steigung der Richtungsableitung wird für [mm] -|gradf(\vec{x}_{0})| [/mm] minimal und zeigt dabei in Gegenrichtung des Gradienten.
(Für den senkrechten Fall ist sie 0).
> oder 2)
> Die Menge der steilsten Anstiege/Abstiege im Punkt [mm]x_0[/mm]
> aller in [mm]x_0[/mm] stetigen, partiell differenzierbaren
> Funktionen [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] ist allerdings nicht
> beschränkt. Also es soll heißen, dass sich zu jeder
> Funktion f eine Funktion g finden läßt, deren steilster
> Anstieg in einem bestimmten Punkt größer ist als der
> steilste Anstieg der Funktion f. Also [mm]max/min = +/- \infty[/mm]
>
> Hab gerade beim Schreiben gemerkt, wahrscheinlich ist
> Antwort 1) die richtige, oder?
>
> thx :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, zu 1c) ein vektor hat kein Min oder max, deshalbist die frage so sinnlos, nur der Betrag kann ein max oder min haben. dann ist 0 und [mm] |gradf(x_0) [/mm] die Antwort.
zu 2 kannst du so ein g zu f angeben, wenn du behauptest es existiert?
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu c)
Sei D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] sei differenzierbar in [mm] x_0 \in [/mm] D.
Ist $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] und [mm] $||v||_2=1$, [/mm] so gilt für die Richtungsableitung von f in [mm] x_0 [/mm] in Richtung v:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial v}(x_0)=v*gradf(x_0)$
[/mm]
1. Ist [mm] gradf(x_0)=0, [/mm] so folgt: [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(x_0)=0 [/mm] für alle $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $||v||_2=1$
[/mm]
2. Sei [mm] gradf(x_0) \ne [/mm] 0 , [mm] v_0:=\bruch{gradf(x_0)}{||gradf(x_0)||} [/mm] und [mm] $M:=\{ \bruch{\partial f}{\partial v}(x_0): v \in \IR^n, ||v||_2=1 \}$.
[/mm]
Dann gilt:
min M = [mm] \bruch{\partial f}{\partial (-v_0)}(x_0) [/mm] und max M = [mm] \bruch{\partial f}{\partial v_0}(x_0)
[/mm]
FRED
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