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| Aufgabe | | Berechnen Sie für f(x, y) = [mm] x^3*y^2 [/mm] + [mm] y*x^4 [/mm] die Ableitung in Richtung v = ( 1,2) im Punkt a = (1,1) |
Hallo zusammen :)
Gefunden habe ich folgende Formel:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( f ( a + t*v) - f(a) ).
Gegeben hab ich ja a = (1,1) und v= (1,2)
Ich setze also ein:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( f [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 2 } [/mm] - f [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] )
Dies ergibt mir nach zusammenfassen:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( [mm] \vektor{t\\ 2t } [/mm] )
Dies Setze ich nun in mein f ein und erhalte
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} 6t^4
[/mm]
Lasse ich nun das t gegen 0 laufen komme ich auf 0...
Irgendwo ist da ein Fehler....
Könnt ihr mir bitte sagen was ich falsch gemacht habe ?
VIelen Dank im Voraus,
Steffi
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Hallo Steffi,
> Berechnen Sie für f(x, y) = [mm]x^3*y^2[/mm] + [mm]y*x^4[/mm] die Ableitung
> in Richtung v = ( 1,2) im Punkt a = (1,1)
> Hallo zusammen :)
>
> Gefunden habe ich folgende Formel:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}[/mm] ( f ( a + t*v) - f(a) ).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") die Formel ist richtig
>
> Gegeben hab ich ja a = (1,1) und v= (1,2)
>
> Ich setze also ein:
>
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}[/mm] ( f [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{1 \\ 2 }[/mm] - f [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] )
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier hast du ein ganz wichtiges Klammerpaar weggelassen !
Beachte dass es in der Formel heisst: f (a+t*v)
die Funktion f wird hier also nicht auf a, sondern
auf den Vektor a+t*v angewendet !
LG
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Ich bin mir nicht sicher,
aber wäre es dann:
f [mm] \vektor{1+t \\ 1+2t} [/mm] - f [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ?
und wenn ich das doch subtrahiere komme ich wieder auf mein t und 2t..
Oder ich mache gerade einen Denkfehler 
Danke im Voraus,
Steffi
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Hallo Steffi,
> Ich bin mir nicht sicher,
> aber wäre es dann:
>
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> f [mm]\vektor{1+t \\ 1+2t}[/mm] - f [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ?
>
> und wenn ich das doch subtrahiere komme ich wieder auf mein
> t und 2t..
> Oder ich mache gerade einen Denkfehler
Ja, du musst doch die Bilder von [mm] $\vektor{1+t \\ 1+2t}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] subtrahieren und nicht bloß die Argumente.
Du hast also im Zähler:
[mm] $f(a+t\cdot{}v)-f(a)=f\left(\vektor{1\\1}+\vektor{t\\2t}\right)-f\left(\vektor{1\\1}\right)=f\left(\vektor{1+t\\1+2t}\right)-f\left(\vektor{1\\1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\left[(1+t)^3\cdot{}(1+2t)^2+(1+t)\cdot{}(1+2t)^4\right]-\left[1^3\cdot{}1^2+1\cdot{}1^4\right]$
[/mm]
Das vereinfache mal, dann kannst du am Ende ein t ausklammern, das du gegen das t im Nenner aus der Formel kürzen kannst ...
Dann kannst du den Grenzübergang [mm] $t\to [/mm] 0$ machen
>
> Danke im Voraus,
>
> Steffi
LG
schachuzipus
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Ich dreh echt am Rad :(
Wenn ich vereinfach komme ich auf
16t + [mm] 51t^2 [/mm] + [mm] 81t^3 [/mm] + [mm] 64t^4 [/mm] + [mm] 20t^5
[/mm]
Dann kann ich wie Du auch schon erwähnt hast ein t ausklammern und gegen den Nenner kürzen.
Somit erhalte ich dann:
16 + 51t + [mm] 81t^2 [/mm] + [mm] 64t^3 [/mm] + [mm] 20t^4
[/mm]
Lasse ich nun t gegen 0 laufen komme ich auf 16...
Aber das ist angeblich auch falsch :(
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Hallo,
das mag daran liegen, dass ich im anderen post beim Einsetzen in die Abbildungsvorschrift beim 2ten Summanden die Rollen von x und y verdreht habe - wie ich gerade erst bemekt habe ...
Der Zähler lautet korrekt
[mm] $(1+t)^3\cdot{}(1+2t)^2+(1+2t)\cdot{}(1+t)^4-2$
[/mm]
Das ergibt zusammengefasst: [mm] $6t^5+25t^4+41t^3+33t^2+13t$
[/mm]
Nach dem Kürzen mit dem t aus dem Nenner sollte das also gegen 13 streben für [mm] $t\to [/mm] 0$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Hab nun alles verstanden, vielen Dank :)
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