Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | Wir betrachten die Abbildung [mm] f:\math{R}^2\to \mathbb{R} [/mm] mit
[mm] f(x_1,x_2)=\begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^4}, & (x_1,x_2)\not= (0,0) \\ 0, & x_1=x_2=0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung [mm] df_x(a) [/mm] von f im Punkt x=(0,0) für jedes [mm] a\in \mathbb{R}^2, a\not=(0,0) [/mm] existiert und berechnen Sie diese. |
Guten Morgen,
ich komme bei diese Aufgabe leider überhaupt nicht weiter. Wir haben Richtungsableitungen erst angefangen und ich sehe da noch nicht ganz durch. Wir hatten ein ähnliches Beispiel in der Übung, aber da weiß ich leider schon beim 2. Schritt nicht, was genau da gemacht wurde. Ich habe mir auch schon verschiedene Beispiele im Internet angesehen, aber trotzdem sehe ich da nicht ganz durch.
Die Existenz ist doch über den Grenzwert zu zeigen oder?
Laut Vorlsung müsste das [mm] \bruch{d}{dt}|_{t=0}\ f(x+tv)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t} [/mm] sein, aber in der Übung wurde [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t} [/mm] benutzt.
Was ist denn davon nun richtig? Oder geht beides bzw. kommt das auf die Funktion an?
Kann mir vielleicht jemand helfen und eine kleine Anleitung geben?
Viele Dank.
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Da x=(0,0) und f(0,0)=0 ist, ist
$ [mm] \bruch{d}{dt}|_{t=0}\ f(x+tv)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 04.07.2013 | | Autor: | Belleci |
> Da x=(0,0) und f(0,0)=0 ist, ist
>
> [mm]\bruch{d}{dt}|_{t=0}\ f(x+tv)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t} [/mm]
>
> FRED
Ok, also in diesem Fall ist es das gleiche.
Aber wie mache ich denn jetzt weiter? Wie kann ich zeigen, dass die Richtungsableitung existiert bzw. wie berechne ich diese? Bei dem Beispiel was wir haben kann ich die Schritte überhaupt nicht nachvollziehen.
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Hallo,
> > Da x=(0,0) und f(0,0)=0 ist, ist
> >
> > [mm]\bruch{d}{dt}|_{t=0}\ f(x+tv)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t}[/mm]
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> >
> > FRED
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> Ok, also in diesem Fall ist es das gleiche.
> Aber wie mache ich denn jetzt weiter? Wie kann ich zeigen,
> dass die Richtungsableitung existiert bzw. wie berechne ich
> diese? Bei dem Beispiel was wir haben kann ich die Schritte
> überhaupt nicht nachvollziehen.
Der Term im Limes muss nur für $t [mm] \not= [/mm] 0$ betrachtet werden (für t = 0 ist er ja nicht definiert).
Weil auch $v = [mm] (v_1,v_2)\not= [/mm] (0,0)$ ist, weißt du schonmal [mm] $t*v\not= [/mm] 0$. Damit kannst du doch nun bei
[mm] $\frac{f(tv)}{t}$
[/mm]
die Funktion f(tv) auswerten!
[mm] $\frac{f(tv)}{t} [/mm] = [mm] \frac{1}{t}\cdot\frac{(tv_1)\cdot (tv_2)^2}{(tv_1)^2 + (t v_2)^4} [/mm] = ...$
nun kürzen, und Limes $t [mm] \to [/mm] 0$ untersuchen...
Viele Grüße,
Stefan
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