Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | [mm] $f(x_1,x_2)=\begin{cases} \frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{falls } (x_1,x_2) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass für alle Richtungen [mm] $v\in\IR^2$ [/mm] und alle [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] die Richtungsableitung [mm] $\frac{\delta f}{\delta v}(x)$ [/mm] existiert und berechnen Sie sie. |
Hallo,
ist damit gemeint, dass ich die Funktion jeweils nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ableite? Bin grad leicht verwirrt wegen dem $v$.
Danke schonmal für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 07.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]f(x_1,x_2)=\begin{cases} \frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{falls } (x_1,x_2) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für alle Richtungen [mm]v\in\IR^2[/mm] und alle
> [mm]x\in\IR^2[/mm] die Richtungsableitung [mm]\frac{\delta f}{\delta v}(x)[/mm]
> existiert und berechnen Sie sie.
> Hallo,
>
> ist damit gemeint, dass ich die Funktion jeweils nach [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_2[/mm] ableite? Bin grad leicht verwirrt wegen dem [mm]v[/mm].
nein, was da steht ist auch so gemeint. Es sind die ![[]](/images/popup.gif) Richtungsableitungen zu berechnen.
>
> Danke schonmal für Hilfe.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Trolli |
Ok, neuer Versuch. War wohl zu voreilig...
Richtungsableitung ist definiert mit:
[mm] $D_{\vec{v}} f(\vec{x})=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}$
[/mm]
Sei [mm] $v=\vektor{v_1 \\ v_2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{h\rightarrow 0}\frac{?-\frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}}{h}$
[/mm]
Steht beim Fragezeichen dann [mm] $\frac{(x_1^3+hv_1)}{(x_1^2+hv_1)+(x_2^2+hv_2)}$ [/mm] oder wie muss ich dort korrekt einsetzen?
ab hier neu::::
Oder über den Gradienten [mm] $\nabla f(\vec{x})*\vec{v}=$
[/mm]
[mm] $\left(\frac{x_1^4+3x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \ \ \frac{-2x_1^3x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}\right)*\vektor{v_1 \\ v_2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x_1^4+3x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}v_1-\frac{2x_1^3x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}v_2$
[/mm]
So korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 07.01.2013 | | Autor: | notinX |
> Ok, neuer Versuch. War wohl zu voreilig...
>
> Richtungsableitung ist definiert mit:
>
> [mm]D_{\vec{v}} f(\vec{x})=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}[/mm]
>
> Sei [mm]v=\vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{h\rightarrow 0}\frac{?-\frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}}{h}[/mm]
>
> Steht beim Fragezeichen dann
> [mm]\frac{(x_1^3+hv_1)}{(x_1^2+hv_1)+(x_2^2+hv_2)}[/mm] oder wie
> muss ich dort korrekt einsetzen?
Nein, so ist es richtig:
[mm] $f(\vec x+h\vec v)=\frac{(x_1+hv_1)^3}{(x_1+hv_1)^2+(x_2+hv_2)^2}$
[/mm]
>
>
> ab hier neu::::
>
> Oder über den Gradienten [mm]\nabla f(\vec{x})*\vec{v}=[/mm]
Das kannst Du zum Berechnen verwenden, vorher muss aber die Differenzierbarkeit gezeigt werden.
>
> [mm]\left(\frac{x_1^4+3x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \ \ \frac{-2x_1^3x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}\right)*\vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> [mm]=\frac{x_1^4+3x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}v_1-\frac{2x_1^3x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}v_2[/mm]
>
> So korrekt?
Nein, in der x-Komponente muss der zweite Summand [mm] $3x_1^2x_2^2$ [/mm] heißen.
Gruß,
notinX
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