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Richtungsableitung: Ableiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Di 28.06.2005
Autor: Prinzessin83

Guten Abend euch allen!

Ich hab versucht eine Aufgabe zu ende zu rechnen, aber da gibt es wieder mal einen Widerstand...

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion f : [mm] \IR^2\{(0,0)} \to \IR [/mm]
[mm] f(x,y)=ln\wurzel{x^2+y^2} [/mm] im Punkt (1,1) in der Richtung v=(2,1).
Ist f in diesem Punkt ableitbar?

Ich habe eingesetzt
x=1+2u
y=1+u


[mm] ln(\wurzel{(1+2u)^2+(1+u)^2}) [/mm]

[mm] =ln(\wurzel{1+2u+2u+4u^2+1+u+u+u^2}) [/mm]

[mm] =ln(\wurzel{3u^2+6u+2}) [/mm]

Richtig?
Wie kann man das ableiten?

Danke!!
        
Bezug
Richtungsableitung: Kettenregel+Logarithmusgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Di 28.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Prinzessein!


> Ich habe eingesetzt
> x=1+2u
> y=1+u

Hier muß ich ehrlich sein und sagen, daß ich nicht weiß, ob diese Vorgehensweise richtig ist [peinlich] ...


> [mm]ln(\wurzel{(1+2u)^2+(1+u)^2})[/mm]
>  
> [mm]=ln(\wurzel{1+2u+2u+4u^2+1+u+u+u^2})[/mm]
>  
> [mm]=ln(\wurzel{3u^2+6u+2})[/mm]

[notok] Hier hast Du dich etwas vertan! Es muß heißen:

[mm]f(u) \ = \ \ln\left(\wurzel{\red{5}u^2+6u+2}\right)[/mm]

  
>  Wie kann man das ableiten?

Um diese Ableitung zu bilden, muß man wissen, daß gilt: [mm] $\left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]

In unserem Falle müssen wir zudem noch die MBKettenregel anwenden.


Bevor wir aber mit diesem "Monster" ;-) beginnen, formen wir zunächst nach einem MBLogarithmusgesetz um: [mm] $\log_b\left(x^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(x)$ [/mm]

[mm]f(u) \ = \ \ln\left(\wurzel{5u^2+6u+2}\right) \ = \ \ln\left[\left(5u^2+6u+2\right)^{\bruch{1}{2}}\right] \ = \ \bruch{1}{2}*\ln\left(5u^2+6u+2\right)[/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Di 28.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo Roadrunner,

danke für die Tipps.


Abzuleiten ist also [mm] \bruch{1}{2}*ln(5u^2+6u+2) [/mm]

[mm] g(x)=\bruch{1}{2}*ln(5u^2+6u+2) [/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{5u^2+6u+2} [/mm]

[mm] h(x)=5u^2+6u+2 [/mm]
h'(x)=10u+6

[mm] g'(x)*h'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{10u+6}{5u^2+6u+2} [/mm]

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung: Nicht ganz...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Di 28.06.2005
Autor: Christian

Hallo.

> Abzuleiten ist also [mm]\bruch{1}{2}*ln(5u^2+6u+2)[/mm]
>  
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}*ln(5u^2+6u+2)[/mm]
>  [mm]g'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{5u^2+6u+2}[/mm]
>  
> [mm]h(x)=5u^2+6u+2[/mm]
>  h'(x)=10u+6
>  
> [mm]g'(x)*h'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{10u+6}{5u^2+6u+2}[/mm]

Nicht ganz... Die Kettenregel funktioniert nach dem Prinzip "innere Ableitung mal äußere Ableitung".
Die innere Ableitung ist das, was Du hier mit h' bezeichnet hast.
Das g', das Du ausgerechnet hast, ist nur die äußere Ableitung.
Also wäre korrekterweise mit [mm] f(x):=\bruch{1}{2}*ln(5u^2+6u+2) [/mm]
[mm] f'(x)=g'(x)*h'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{10u+6}{5u^2+6u+2} [/mm]

Gruß,
Christian

Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Di 28.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo Christian,

danke für die Bemerkung.

Also du meinst dass ich das f'(x)=....vergessen habe?
Wobei es muss ja eigentlich heissen f'(u), g(u), h(u)....oder?
Bezug
                                        
Bezug
Richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Di 28.06.2005
Autor: Christian

Ja, richtig... sorry... muß natürlich u statt x heißen...
Die Macht der Gewohnheit :-)
Bezug
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