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Ich habe f(x,y):= e^(x*y) + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3y^3 [/mm] gegeben. Ich soll die Richtungsableitung [mm] D_v [/mm] f(a) in einem beliebigen Punkt [mm] a=(x_0,y_0) [/mm] in beliebiger Richtung [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] berechnen.
Es gilt ja: [mm] D_v [/mm] f(a) = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(a+hv) - f(a)}{h}
[/mm]
Wenn ich das jetzt versuche für die Funktion auszurechnen, kriege ich keinen ,,brauchbaren" Ausdruck.
Lässt sich das mit dem Grenzwert bestimmen, oder gibt es eine andere Möglichkeit?
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Hallo Heureka89,
> Ich habe f(x,y):= e^(x*y) + [mm]2x^3[/mm] + [mm]3y^3[/mm] gegeben. Ich soll
> die Richtungsableitung [mm]D_v[/mm] f(a) in einem beliebigen Punkt
> [mm]a=(x_0,y_0)[/mm] in beliebiger Richtung [mm]v=(v_1,v_2)[/mm] berechnen.
>
> Es gilt ja: [mm]D_v[/mm] f(a) = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(a+hv) - f(a)}{h}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt versuche für die Funktion auszurechnen,
> kriege ich keinen ,,brauchbaren" Ausdruck.
> Lässt sich das mit dem Grenzwert bestimmen, oder gibt es
> eine andere Möglichkeit?
Diesen Ausdruck bestimmt man mit dem Grenzwert für [mm]h\to 0[/mm].
Gruß
MathePower
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Hiho,
> Wenn ich das jetzt versuche für die Funktion auszurechnen,
> kriege ich keinen ,,brauchbaren" Ausdruck.
> Lässt sich das mit dem Grenzwert bestimmen, oder gibt es
> eine andere Möglichkeit?
also ich kriege durchaus einen brauchbaren Ausdruck raus, fang dochmal an und teile uns mit, wo du nicht weiterkommst, wir helfen dir dann 
MfG,
Gono.
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Sorry hatte noch einen Fehler bei der Funktion gemacht es muss 3y^2
sein:
Ok hier der Grenzwert:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{ e^{(x_0+hv)*(y_0+hv)}+2(x_0+hv)^3+3(y_0+hv)^2 -e^{x_0y_0}-2x_0^3-3y_0^2}{h}= \bruch{ e^{(x_0+hv)*(y_0+hv)}-e^{x_0y_o}+2h^3v^3+6x_0^2hv+6x_0h^2v^2+6y_0hv+3h^2v^2}{h}
[/mm]
h würde sich jetzt überall wegkürzen, außer beim e. Oder kann man das noch mehr vereinfachen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Heureka89 |
Habs jetzt verstandne.Das e kürzt sich ja weg, da h gegen 0 geht.
Dann klappt alles.
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Hiho,
nein, das e kürzt sich nicht so einfach raus........
Weitere vorgehensweise:
Teile den Bruch mal auf in seine einzelnen Summanden.
Welche gehen gegen 0, welche bleiben stehen?
Welche musst du noch näher betrachten?
MfG,
Gono.
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Ok habe es mir dann zu einfach gemacht.
also [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{e^{(x_0+hv)(y_0+hv)}-e^{x_0y_0}}{h} [/mm] + [mm] 2h^2v^3+6x_0^2v+6x_0hv^2+6y_0v+3hv^2)
[/mm]
ok also es bleiben stehen:
[mm] 6x_0^2v+6y_0v+\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{e^{(x_0+hv)(y_0+hv)}-e^{x_0y_0}}{h}
[/mm]
Also den letzten Ausdruck schaffe ich es nicht zu vereinfachen. Weil ich kriege dann einen Ausdruck der Form 0/0. Kann ich vielleicht hier L'Hospital anwenden?
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> Also den letzten Ausdruck schaffe ich es nicht zu
> vereinfachen. Weil ich kriege dann einen Ausdruck der Form
> 0/0. Kann ich vielleicht hier L'Hospital anwenden?
Können ist der falsche Ausdruck.... müssen wäre passender.
Eine Anmerkung noch: Es muss nicht [mm] (x_0 [/mm] + [mm] hv)(y_0+hv) [/mm] heissen, sondern [mm] (x_0 [/mm] + [mm] hv_1)(y_0 [/mm] + [mm] hv_2), [/mm] ebenso vorn, denn v ist ja ein 2-Komponenten-Vektor!
MfG,
Gono.
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