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Hallo Leute!
Ich habe eine allgemeine Frage zur Richtungsableitung.
Ich kann mit Hilfe der Richtungsableitung ja die Änderungsrate bzw. Steigung einer Fkt. in einer beliebigen zuvor festgelegten Richtung bestimmen. Allerdings das nur an einem zuvor festgelegten Punkt.
Ich würde aber gerne ein bestimmtes Intervall betrachten, z.B. einen Pfad bestimmter Länge über ein Höhenprofil (durch Funktion [mm] R^2 [/mm] --> R festgelegt).
Und ich brauche eine Möglichkeit die mir sagt, an welcher Stelle ich nun meine maximale Änderungsrate habe, das sozusagen ich den Punkt bestimme mit der größten Änderungsrate in einem bestimmten Intervall.
Geht sowas?
Ich würde mich über eure Antworten freuen!
Vielen Dank schonmal!
Es grüßt Matze die Katze
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute!
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> Ich habe eine allgemeine Frage zur Richtungsableitung.
> Ich kann mit Hilfe der Richtungsableitung ja die
> Änderungsrate bzw. Steigung einer Fkt. in einer beliebigen
> zuvor festgelegten Richtung bestimmen. Allerdings das nur
> an einem zuvor festgelegten Punkt.
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> Ich würde aber gerne ein bestimmtes Intervall betrachten,
> z.B. einen Pfad bestimmter Länge über ein Höhenprofil
> (durch Funktion [mm]R^2[/mm] --> R festgelegt).
>
> Und ich brauche eine Möglichkeit die mir sagt, an welcher
> Stelle ich nun meine maximale Änderungsrate habe, das
> sozusagen ich den Punkt bestimme mit der größten
> Änderungsrate in einem bestimmten Intervall.
Hallo Katze Matze,
meinst du mit dem Pfad nicht eher eine Abbildung
[mm] \IR\to \IR^2 [/mm] mit [mm] t\to [/mm] (x,y) ? (anstatt umgekehrt)
Dann hast du einen "Weg" im [mm] \IR^3 [/mm] mit
z(t)=f(x(t),y(t)) und kannst dann damit die gewünschten
Ableitungen bzw. Richtungsableitungen berechnen. Die
Steigung des Weges im Punkt mit dem Parameterwert t
ist dann
m= [mm] \bruch{dz}{\wurzel{dx^2+dy^2}}
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hi!
Danke für deine Antwort!!
Also mit dem Weg hatte ich gemeint:
Man hat dieses Höhenprofil, also z = f(x,y). Wenn ich nun in der x-y-Ebene eine Gerade definiere, z.B. y = x, und diese Gerade sozusagen auf das Höhenprofil projeziere, dann habe ich einen Weg (z.B. Wanderweg). Also einen Weg der sekrecht über der Geraden y = x verläuft.
Dieser Wanderweg ändert seine Steigung je nach dem wie das Höhenprofil verläuft. Mich interessiert nun wie man z.B. über eine "Strecke von 1km" bestimmen kann, wo dort in diesem Intervall [0, 1km] die größte Steigung ist, also an welchen Punkten.
Vielleicht habe ich auch nicht richtig den Begriff "Richtungsableitung" verstanden. Ich habe mir das so vorgestellt, dass man einen Punkt genau vorher festlegt und dann eine Richtung vorgibt in welche die Ableitung bestimmt werden soll.
Im Gegensatz zum Gradienten, der an einem bestimmten Punkt ja angibt, wie dort die größte Änderungsrate ist.
Oder habe ich das falsch verstanden?
Und ich suche sozusagen ne Möglichkeit, wo ich nicht vorher weiß wo die Steigung am größten ist und ich herausbekommen kann wo sie am größten ist, z.B. entlang eines Intervalls.
Ich hoffe ich habe das einigermaßen verständlich formuliert.
Beste Grüße Matze die Katze
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Hallo Matze,
Al hat die Frage eigentlich schon beantwortet. Wenn Du einen wanderweg hast und diesen auf die x-y ebene projezierst, kannst du die dort entstehende 2D kurve durch eine abbildung [mm] $c:I\to R^2$ [/mm] parametrisieren.
Ist dein hoehenprofil (oder auch 'gebirge') nun durch eine funktion [mm] $f:R^2\to [/mm] R$ gegeben, gibt dir [mm] $f(c):I\to [/mm] R$ das hoehenprofil entlang der kurve an. Beachte, dass das eine eindimensionale funktion von R nach R ist. Die steigung berechnet man nun (wie in der schule  ) einfach durch ableiten.
Es ist nach der kettenregel [mm] $(f(c))'=\nabla f(c)\cdot [/mm] c'$. Das kannst du nun zb. nochmal ableiten, um extrema der steigung zu bestimmen.
gruss
matthias
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