Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in [mm] x_{0} [/mm] in Richtung v folgender Funktion: f(x,y)= x²-y², [mm] x_{0}=(1,2), v=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}.
[/mm]
2.Bestimmen Sie die Richtung und den Wert des steilsten Anstiegs. |
Bei der 1 habe ich für den Gradienten : [mm] \vektor{2x \\ -2y} [/mm] raus und für die Richtungsableitung [mm] \bruch{-2}{\wurzel{2}} [/mm] raus.
Beim ersten Teil bin ich mir einigermassen sicher, das das stimmt, (wäre jedoch nett, wenn das Jemand bestätigen könnte..)
Zum zweiten Teil:
Sowie ich das verstehe ist der steilste Anstieg in Richtung des Gradienten, also [mm] (2,-2)^T [/mm] oder? Und der Wert des anstiegs ist: [mm] \wurzel{8}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 31.12.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo und guten Rutsch 
> 1. Bestimmen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung
> in [mm]x_{0}[/mm] in Richtung v folgender Funktion: f(x,y)= x²-y²,
> [mm]x_{0}=(1,2), v=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}.[/mm]
>
> 2.Bestimmen Sie die Richtung und den Wert des steilsten
> Anstiegs.
> Bei der 1 habe ich für den Gradienten : [mm]\vektor{2x \\ -2y}[/mm]
> raus und für die Richtungsableitung [mm]\bruch{-2}{\wurzel{2}}[/mm]
> raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch raus.
>
> Beim ersten Teil bin ich mir einigermassen sicher, das das
> stimmt, (wäre jedoch nett, wenn das Jemand bestätigen
> könnte..)
>
> Zum zweiten Teil:
> Sowie ich das verstehe ist der steilste Anstieg in
> Richtung des Gradienten, also [mm](2,-2)^T[/mm] oder? Und der Wert
> des anstiegs ist: [mm]\wurzel{8}?[/mm]
Richtig, der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Soll 2.) mit den Werten aus 1.) gelöst werden? Dann ist $(2,-2)$ nicht korrekt sondern für den Gradienten bei [mm] $x_0$ [/mm] erhälst du [mm] $\nabla f(x_0)= [/mm] (2,-4)$.
Der Wert ist das Skalarprodukt des Gradieten mit der Richtung, also in diesem Fall mit dem Gradient selbst.
Gruß, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
Dankeschön! und dir auch Guten Rutsch!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Fr 02.01.2009 | | Autor: | JMW |
Ich wollte nochmal sicher gehen, daß ich das richtig verstanden habe:
Um den Wert zu bekommen muss ich [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] (also die Richtung) mit dem Gradienten multiplizieren [mm] \vektor{2x \\ -2y}, [/mm] was 4x + 8y ergibt. Oder meinst du die Richtung [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] mit dem Gradienten in [mm] x_{0}: \vektor{2 \\ -4}, [/mm] was 2+16=18 ergibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 03.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> die Richtung [mm]\vektor{2 \\ -4}[/mm]
> mit dem Gradienten in [mm]x_{0}: \vektor{2 \\ -4},[/mm] was 2+16=18
> ergibt?
Das ist richtig!
Gruß, zetamy
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