Richtungsableitung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mi 25.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Also mir ist klar, wie man die Richtungsableitung ausrechnet, man berechnet einfach den Gradient und der wird dann mit einem Vektor multipliziert...
Nur was genau ist eigentlich eine Richtungsableitung... Was genau zeigt sie mir...
das hab ich noch nicht so ganz verstanden und Wiki ist da auch nicht besonders hilfreich... :-(
lg xxxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Moin xxxx,
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also mir ist klar, wie man die Richtungsableitung
> ausrechnet, man berechnet einfach den Gradient und der wird
> dann mit einem Vektor multipliziert...
ja, wobei du natürlich noch hinzufügen musst, von was der Gradient gebildet werden soll. I.a.R. ist das der Gradient von [mm] \phi=\phi(x,y,z) [/mm] - also ein räumliches Skalarfeld.
> Nur was genau ist eigentlich eine Richtungsableitung...
> Was genau zeigt sie mir...
dadurch, dass du den [mm] grad\phi [/mm] mit einem Vektor [mm] \vec{c} [/mm] multiplizierst, schaust du dir die Veränderung des Funktionswertes von [mm] \phi [/mm] im Punkt P an, die daraus resultiert, dass du in Richtung [mm] \vec{c} [/mm] wanderst.
Schau dir mal diese Beziehung hier genau an:
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial \vec{c}}=(grad\ \phi)*\vec{e}_c=(grad \phi)*\bruch{\vec{c}}{|\vec{c}|}
[/mm]
In der Fachliteratur heißt es nun: Die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial \phi}{\partial \vec{c}} [/mm] ist die Projektion des Gradienten von [mm] \phi [/mm] auf den normierten Richtungsvektor. Damit wird der Maximalwert in Richtung des Gradienten erreicht.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
""Also mir ist klar, wie man die Richtungsableitung ausrechnet, man berechnet einfach den Gradient und der wird dann mit einem Vektor multipliziert... ""
ist i.a. nicht richtig !
Die Formel " Gradient* Richtung = Richtungsableitung" ist nur richtig, wenn die Funktion an der zu untersuchenden Stelle differenzierbar ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wieso
"wäre es ja auch mit den Ableitungen Essig" ?
Die Richtungsableitung ist def. als ein Grenzwert !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
das sehe ich auch so, aber was ist denn wenn der beidseitige Grenzwert voneinander abweicht?
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
diese Sonderfälle werden normalerweise nicht angesprochen und ich muss sagen, dass mich das hier auch etwas überrascht hat. Zu der nicht im Punkt P differenzierbaren Funktion gibt es noch zu sagen, dass man aus der beidseitigen zur einseitigen Differentiation übergehen kann und damit wäre sogar bei einer im Punkt P nicht differenzierbaren Funktion eine Richtungsableitung möglich.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ehrlich gesagt , ich weiß nicht wovon Du sprichst.
Wir sind doch im mehrdimensionalen !
Da macht "einseitiger" oder "beidseitiger " Grenzwert keinen Sinn.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
> Ehrlich gesagt , ich weiß nicht wovon Du sprichst.
>
> Wir sind doch im mehrdimensionalen !
> Da macht "einseitiger" oder "beidseitiger " Grenzwert
> keinen Sinn.
ja, das liegt aber weniger an dem, was ich sagen möchte, als vielmehr daran "wie" 
du hattest die Voraussetzung der Differenzierbarkeit angesprochen. Es ist doch so, dass eine Funktion f, die in p differenzierbar ist, auch partiell differenzierbar ist - umgekehrt muss eine Funktion f in der Umgebung von p überall differenzierbar sein, damit sie in p differenzierbar ist. Du hattest vorhin gesagt, dass f in p differenzierbar sein muss. Das stimmt m.E. nach nicht ganz, denn jede Funktion ist insbesondere richtungsdifferenzierbar, nämlich in die Richtungen, in die f partiell differenzierbar ist. Es muss also f gar nicht in p differenzierbar sein.
Den beid- bzw. einseitigen Grenzwert hatte ich angeführt, weil ich damit sagen wollte, dass wenn ich mich einem Punkt nähere ich immer zwei Möglichkeiten habe - eben von der einen und der anderen Seite (unabhängig vom Raum).
Verbesser ich bitte, wenn das hier alles Müll ist
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Herby,
nicht böse sein, aber das
""Den beid- bzw. einseitigen Grenzwert hatte ich angeführt, weil ich damit sagen wollte, dass wenn ich mich einem Punkt nähere ich immer zwei Möglichkeiten habe - eben von der einen und der anderen Seite (unabhängig vom Raum). ""
ist Unfug !
Werden wir mal konkret.
Sei f(x,y) = [mm] (xy²)/(x²+y^4), [/mm] falls (x,y) nicht = (0,0) unf f(0,0) = 0
f ist in (0,0) nicht stetig, also dort auch nicht differenzierbar.
Weiter ist gradf(0,0) = (0,0)
Sei als Richtung gegeben a = (1/wurzel2)(1,1), so gilt (bitte nachrechnen):
Richtungsableitung von f in (0,0) in Richtung a = 1/(wurzel2),
aber a*gradf(0,0) = 0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mi 25.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Danke schön, ich habs verstanden
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
