Richtungsableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Bei meiner Klausurvorbereitung bin ich auf eine Aufgabe gestossen, bei der ich nicht weiterkomme.
[mm]f:\IR^2\rightarrow\IR, f(x,y)= x^2+xcosy[/mm].
a)
Man berechne die Richtungsableitung von f in einem beliebigen Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] in Richtung [mm]v=(1/\wurzel{2},1/\wurzel{2})[/mm] mit Hilfe der Definition.
b)
Berechne Richtungsableitung aus a) über das totale Differential.
Zu Teil b).
Da f offensichtlich stetig partiell diff´bar ist, ist f also auch toal diff´bar.
Somit gilt für das Differential [mm] (Df)(x_0,y_y):
[/mm]
[mm] (Df)(x_0,y_0)=(2x_0+cosy_0, -x_0siny_0).
[/mm]
Somit erhält man für die Richtungsableitung [mm] (D_vf)(x_0,y_0):
[/mm]
[mm] (D_vf)(x_0,y_0)
[/mm]
[mm] =(Df)(x_0,y_0)v.
[/mm]
Dieser Teil ist völlig klar.
Doch bei Teil a) komme ich nicht weiter.
Ohne jetzt alle Rechenschritte hier aufzuzeichnen, habe ich die Gleichung mit Hilfe der Additionstheoreme so weit wie möglich aufgelöst.
Sobald aber der Limes ins Spiel kommt, weiss ich nicht weiter.
Es wäre nett, wenn mir jemand den Teil a) ausführlich aufzeigt!
Gruss,
Wurzelpi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 Di 14.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi!
> [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR, f(x,y)= x^2+xcosy[/mm].
>
> a)
> Man berechne die Richtungsableitung von f in einem
> beliebigen Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] in Richtung
> [mm]v=(1/\wurzel{2},1/\wurzel{2})[/mm] mit Hilfe der Definition.
> Doch bei Teil a) komme ich nicht weiter.
> Ohne jetzt alle Rechenschritte hier aufzuzeichnen, habe
> ich die Gleichung mit Hilfe der Additionstheoreme so weit
> wie möglich aufgelöst.
> Sobald aber der Limes ins Spiel kommt, weiss ich nicht
> weiter.
>
> Es wäre nett, wenn mir jemand den Teil a) ausführlich
> aufzeigt!
Denkste! 
Nein, ich kann das gerne nachholen, nur ist es mir jetzt ein wenig zu spät dazu.
Ich habe gerade die Richtungsableitung aus a) berechnet, und dazu kein Mal ein Additionstheorem angewandt.
Den Differenzialquotienten wirst du ja wahrscheinlich genau wie ich aufgestellt haben; bei vielen Summanden des Zählers kannst du mit dem Nenner kürzen.
Es bleibt ein Ausdruck der Form
[mm] $$\limes_{\IR\ni t\to 0} \bruch{\cos\left( y_0+\bruch{t}{\wurzel{2}}\right)-\cos y_0}{t}$$
[/mm]
übrig; dies ist aber gerade [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}*\cos' y_0$ [/mm] (was man einsieht, wenn man [mm] $s:=\bruch{t}{\wurzel{2}}$ [/mm] setzt).
Jedenfalls habe ich so dein [mm] $(Df)(x_0,y_0)*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}}$ [/mm] erhalten.
Vielleicht kommst du ja so auch auf das Ergebnis, ansonsten melde dich bitte nochmal, dann rechne ich es dir vor (bzw. rechne deinen Lösungsweg weiter  )
Aufgabenteil b) müßte mit deinen Begründungen richtig sein.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Vielen Dank für Deine Antwort.
Damit hast Du mir schon weiter geholfen.
Dieser Limes war auch die Schwierigkeit - ich habe wohl übersehen, dass das ja nichts anderes ist als der Differentialquotient.
Nochmals Danke.
Gruss,
Wurzelpi
|
|
|
|
