Richtung der 2. Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Di 14.06.2011 | | Autor: | Kevin666 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und x [mm] \in [/mm] U ein Punkt mit grad f(x)=0.
Nachdem Hess f(x) eine symmetrische Matrix ist, gibt es eine Orthonormalbasis [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] von [mm] \IR^n [/mm] bestehend aus Eigenvektoren zu Eigenwerten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n}.
[/mm]
Wir nehmen an, dass [mm] \lambda_{1}\le\lambda_{2}\le...\le\lambda_{n}
[/mm]
Ein Richtungsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Für einen Richtungsvektor v betrachten wir:
[mm] g_{v} [/mm] : [mm] \IR\to\IR [/mm] , t [mm] \to [/mm] f(x+tv)
Zeigen sie, dass
g''_{v}(0) [mm] \le g''_{v_{n}}(0) [/mm] für alle Richtungsvektoren.
Hinweis: für einen beliebigen Richtungsvektor v schreiben sie diesen als Linearkombination [mm] v=\summe_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}
[/mm]
(Was können sie über [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}^2 [/mm] aussagen?)
Drücken sie dann g''_{v}(0) mithilfe der [mm] a_{i} [/mm] und [mm] \lambda_{i} [/mm] aus. |
So, abend. Vielleicht kann mir bei dieser Aufgabe hier ja jemand weiterhelfen?
Also, aus der Vorlesung wissen wir, dass
g''_{v}(0) = <v, Hess f(x)*v> = [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}^2\lambda_{i} [/mm]
Aber: ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was ich über die [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}^2 [/mm] aussagen kann? Kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Mi 15.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die summe ist doch das Betragsquadrat eines Einheitsvektors? das solltest du kennen!
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