Riccatti DGL nach Bernoulli lö < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Raten Sie eine Lösung und bestimmen Sie damit alle Lösungen der folgenden DGLen, bzw. AWA:
a) [mm] y'(x)=x^3*y^2(x)+\bruch{y(x)}{x}-x^5
[/mm]
b) [mm] y'(x)=(1-x)y^2(x)+(2x-1)*y(x)-x, [/mm] y(0)=0,125 |
Hallo,
die oben aufgeführten DGL lassen sich ja mittels einer speziellen Lösung [mm] y_1 [/mm] und der Rückführung auf eine Bernoulli DGL lösen. Dies habe ich in einer vorhergehenden Aufgabe gezeit. Nun wollte ich meine Lösungsvorschläge posten und fragen, ob ich richtig gerechnet habe:
zur a)
[mm] y'(x)=x^3y^2(x)+\bruch{y(x)}{x}-x^5
[/mm]
Hier sei nun [mm] y_1=x [/mm] eine spezielle Lösung, so dass man alle Lösungen in der Form [mm] y=y_1+u [/mm] erhält, wobei u die Lösung der Bernoulli DGL druchläuft:
[mm] u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2=0 [/mm] (1)
Wenn man sich nun die Riccatti DGL:
[mm] y'+f(x)y^2+g(x)y=h(x) [/mm] anschaut kann man f(x), g(x) und h(x) aus der Aufgabe a) ablesen und erhält:
[mm] f(x)=-x^3
[/mm]
[mm] g(x)=-\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] h(x)=-x^5
[/mm]
Setzt man dies nun in die Bernoulli DGL (1) ein, folgt:
[mm] u'=2x^3y_1(x)u +\bruch{1}{x}u+x^3u^2...........(x\not=0, y_1=x)
[/mm]
[mm] =>u'=2x^4u+\bruch{1}{x}+x^3u^2
[/mm]
[mm] =>u'=(2x^3+\bruch{1}{x})u+x^3u^2...........(multpl. [/mm] mit [mm] -u^{-2})
[/mm]
[mm] =>(\bruch{1}{u})'=-\bruch{1}{u}(2x^4+\bruch{1}{x})-x^3...........(z=\bruch{1}{u})
[/mm]
[mm] =>z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z-x^3
[/mm]
Hier kann man dann mittels Variation der Konstanten die Lösung bestimmen:
[mm] z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z
[/mm]
....
[mm] =>z=c*e^{-\bruch{2}{5}*x^5}*\bruch{1}{x},..........c\in \IR
[/mm]
ist das bis hier schonmal richtig, rechne gerade weiter und werde den Rest dann posten, in der Hoffnung, dass ich nicht alles neu rechnen muss.
DANKE
EDIT:
[mm] =>z'=\bruch{1}{x}c'(x)*e^{-\bruch{2}{5}*x^5}-\bruch{1}{x}c(x)*2x^4*e^{-\bruch{2}{5}x^5}-\bruch{1}{x^2}c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}=-2x^4c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}*\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^2}*c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}-x^3
[/mm]
[mm] =>z'=\bruch{1}{x}*c'(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}=-x^3
[/mm]
[mm] =>c'(x)=-x^4*e^{\bruch{2}{5}x^5}
[/mm]
[mm] =>c(x)=-\integral_{}^{}{x^4*e^{\bruch{2}{5}x^5} dx}
[/mm]
[mm] =>c(x)=-\bruch{1}{2}*e^{\bruch{2}{5}x^5}...........(in [/mm] z einsetzen)
[mm] =>z=-\bruch{1}{2}*e^{\bruch{2}{5}x^5}*e^{-\bruch{2}{5}x^5}*\bruch{1}{x}=-\bruch{1}{2x}..........(Resubstitution [/mm] mit [mm] u=\bruch{1}{z})
[/mm]
=>u=-2x
Das ganze setze man in die [mm] y=y_1+u [/mm] ein, mit [mm] y_1=x
[/mm]
=>y=x+2x=3x
Wäre das nun die Lösung zu a)
DANKE
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Hallo Peon,
> Raten Sie eine Lösung und bestimmen Sie damit alle
> Lösungen der folgenden DGLen, bzw. AWA:
> a) [mm]y'(x)=x^3*y^2(x)+\bruch{y(x)}{x}-x^5[/mm]
> b) [mm]y'(x)=(1-x)y^2(x)+(2x-1)*y(x)-x,[/mm] y(0)=0,125
>
> Hallo,
>
> die oben aufgeführten DGL lassen sich ja mittels einer
> speziellen Lösung [mm]y_1[/mm] und der Rückführung auf eine
> Bernoulli DGL lösen. Dies habe ich in einer vorhergehenden
> Aufgabe gezeit. Nun wollte ich meine Lösungsvorschläge
> posten und fragen, ob ich richtig gerechnet habe:
>
> zur a)
> [mm]y'(x)=x^3y^2(x)+\bruch{y(x)}{x}-x^5[/mm]
> Hier sei nun [mm]y_1=x[/mm] eine spezielle Lösung, so dass man
> alle Lösungen in der Form [mm]y=y_1+u[/mm] erhält, wobei u die
> Lösung der Bernoulli DGL druchläuft:
> [mm]u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2=0[/mm] (1)
>
> Wenn man sich nun die Riccatti DGL:
> [mm]y'+f(x)y^2+g(x)y=h(x)[/mm] anschaut kann man f(x), g(x) und
> h(x) aus der Aufgabe a) ablesen und erhält:
> [mm]f(x)=-x^3[/mm]
> [mm]g(x)=-\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]h(x)=-x^5[/mm]
>
> Setzt man dies nun in die Bernoulli DGL (1) ein, folgt:
> [mm]u'=2x^3y_1(x)u +\bruch{1}{x}u+x^3u^2...........(x\not=0, y_1=x)[/mm]
>
> [mm]=>u'=2x^4u+\bruch{1}{x}+x^3u^2[/mm]
> [mm]=>u'=(2x^3+\bruch{1}{x})u+x^3u^2...........(multpl.[/mm] mit
> [mm]-u^{-2})[/mm]
>
> [mm]=>(\bruch{1}{u})'=-\bruch{1}{u}(2x^4+\bruch{1}{x})-x^3...........(z=\bruch{1}{u})[/mm]
> [mm]=>z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z-x^3[/mm]
>
> Hier kann man dann mittels Variation der Konstanten die
> Lösung bestimmen:
> [mm]z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z[/mm]
> ....
> [mm]=>z=c*e^{-\bruch{2}{5}*x^5}*\bruch{1}{x},..........c\in \IR[/mm]
>
> ist das bis hier schonmal richtig, rechne gerade weiter und
> werde den Rest dann posten, in der Hoffnung, dass ich nicht
> alles neu rechnen muss.
> DANKE
> EDIT:
>
> [mm]=>z'=\bruch{1}{x}c'(x)*e^{-\bruch{2}{5}*x^5}-\bruch{1}{x}c(x)*2x^4*e^{-\bruch{2}{5}x^5}-\bruch{1}{x^2}c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}=-2x^4c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}*\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^2}*c(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}-x^3[/mm]
> [mm]=>z'=\bruch{1}{x}*c'(x)*e^{-\bruch{2}{5}x^5}=-x^3[/mm]
> [mm]=>c'(x)=-x^4*e^{\bruch{2}{5}x^5}[/mm]
> [mm]=>c(x)=-\integral_{}^{}{x^4*e^{\bruch{2}{5}x^5} dx}[/mm]
>
> [mm]=>c(x)=-\bruch{1}{2}*e^{\bruch{2}{5}x^5}...........(in[/mm] z
> einsetzen)
>
> [mm]=>z=-\bruch{1}{2}*e^{\bruch{2}{5}x^5}*e^{-\bruch{2}{5}x^5}*\bruch{1}{x}=-\bruch{1}{2x}..........(Resubstitution[/mm]
> mit [mm]u=\bruch{1}{z})[/mm]
> =>u=-2x
> Das ganze setze man in die [mm]y=y_1+u[/mm] ein, mit [mm]y_1=x[/mm]
> =>y=x+2x=3x
> Wäre das nun die Lösung zu a)
Nein.
Die Lösung der DGL
[mm]=>z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z-x^3[/mm]
setzt sich zusammen aus der Lösung der homogenen DGL
[mm]=>z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z[/mm]
und der partikulären Lösung der inhomogenen DGL.
Demnach ergibt sich:
[mm]z\left(x\right)=c*\bruch{e^{-\bruch{1}{2}*x^5}}{x}+\left(-\bruch{1}{2x}\right)[/mm]
Dann ergibt sich die Lösung y zu:
[mm]y\left(x\right)=x+\bruch{1}{c*\bruch{e^{-\bruch{1}{2}*x^5}}{x}+\left(-\bruch{1}{2x}\right)}[/mm]
> DANKE
Gruss
MathePower
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@ Mathepower:
g=
Ich sitze an derselben Aufgabe und dachte eigentlich ich wäre fertig. An deiner Lösung sehe ich aber da sich einen Fehler drin habe.
Wie komme ich auf den partikulüren Teil der Lösung? könntest du mir eine Seite nennen, auf der ich nachvollziehen kann wie das funktioniert?
zu b)
habe die spezielle Lösung [mm] y_{1} [/mm] = 1 raus.
u´(x)= u(x)+ [mm] (1-x)u^{2}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (u^{-1})´(x) [/mm] = [mm] u^{-1}(x) [/mm] + (1-x)
Substituiere: z = [mm] u^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z´(x) = z(x) + (1-x)
....
dann löse ich den homogenen Teil. Muss ich den inhomogenen Teil dann auch mit einer partikulären Teil lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 04.11.2010 | | Autor: | pitta |
Hi,
ich hab ne kleine Frage zum Aufgabenteil b)
1. Schritt ist ja eine Lösung zu raten:
Ohne den Anfangswert y(0)=1,125 wäre eine solche geratene Lösung
y [mm] \equiv [/mm] 1
Wegen des Anfangswerts bin ich mir aber nicht sicher, ob man diese lösung nehmen darf?
Gruß
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Hallo pitta,
> Hi,
>
> ich hab ne kleine Frage zum Aufgabenteil b)
> 1. Schritt ist ja eine Lösung zu raten:
> Ohne den Anfangswert y(0)=1,125 wäre eine solche geratene
> Lösung
> y [mm]\equiv[/mm] 1
> Wegen des Anfangswerts bin ich mir aber nicht sicher, ob
> man diese lösung nehmen darf?
Sicher, darfst Du diese Lösung nehmen,
da y=1 nur die partikuläre Lösung der DGL ist.
Die Konstante, die dann mit Hilfe der Anfangsbedingung
zu ermitteln ist, bestimmt sich aus der allgemeinen Lösung
dieser DGL.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo, mache jetzt auch die b)
> Hier habe ich:
>
> [mm]z'\left(x\right)=z\left(x\right)\blue{-}\left(1-x\right)[/mm]
Ich habe da raus:
z'=-z-(1-x)
Habe das auch schon 2mal nachgerechnet, bist du dir sicher, dass dein Ergebnis richtig ist?
DANKE
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Hallo Peon,
> Hallo, mache jetzt auch die b)
>
> > Hier habe ich:
> >
> > [mm]z'\left(x\right)=z\left(x\right)\blue{-}\left(1-x\right)[/mm]
>
> Ich habe da raus:
>
> z'=-z-(1-x)
>
> Habe das auch schon 2mal nachgerechnet, bist du dir sicher,
> dass dein Ergebnis richtig ist?
Natürlich ist die Gleichung
[mm]z'=-z-(1-x)[/mm]
richtig.
> DANKE
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe vergessen, dass ich ja durch [mm] -u^{-2} [/mm] teile und habe das Vorzeichen nicht berücksichtigt. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 04.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hey, danke fürs Drüberschauen.
Ich bin meine Rechnungen nochmal durchgegangen, aber ich sehe nicht wo ich den Fehler gemacht habe? Kannst du mir vielleicht die Stelle zeigen, wo ich falsch gerechnet habe.
Was hast du denn für c(x)? heraus bekommen?
Danke
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Hallo Peon,
> Hey, danke fürs Drüberschauen.
> Ich bin meine Rechnungen nochmal durchgegangen, aber ich
> sehe nicht wo ich den Fehler gemacht habe? Kannst du mir
> vielleicht die Stelle zeigen, wo ich falsch gerechnet
> habe.
Du hast alles richtig gerechnet.
Zum Schluss hast Du nur vergessen,
die Lösung der homogenen DGL
[mm]z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z[/mm]
und die partikuläre Lösung der DGL
[mm]z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z-x^3[/mm]
zusammenzusetzen.
> Was hast du denn für c(x)? heraus bekommen?
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 04.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
also ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich falsch mache und verstehe auch nicht so ganz die Methode die du verwendest, ich habe solche DGL immer nach dem Prinzip der Variation der Konstante gelöst, so wie du ja eigentlich auch, aber ich habe das immer so gemacht:
1)homogene DGL y' lösen:
1.1)Integration nach x => y=...
1.2)Nach y auflösen
1.3)Diff. nach x mit c als c(x) ergibt neues y' mit c(x) usw.
1.4)Lösung der homogenen DGL y=... in alte DGL einsetzen und diese mit zuvor errechnetem y' gleichsetzen
1.5) Auflösen nach c'(x)
1.6)Integration nach x ergibt c(x)
1.7)c(x) in Lösung der homogenen DGL y einsetzen.
so wie hier
https://matheraum.de/read?t=725965
Was hast du anders gemacht oder ich falsch, ich stehe auf dem Schlauch. Es müsste ja auch selsbt wenn wir abweichende Methoden verwenden das gleich Ergebnis herauskommen?!
Danke
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Hallo Peon,
> Hallo,
>
> also ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich falsch mache
> und verstehe auch nicht so ganz die Methode die du
> verwendest, ich habe solche DGL immer nach dem Prinzip der
> Variation der Konstante gelöst, so wie du ja eigentlich
> auch, aber ich habe das immer so gemacht:
>
> 1)homogene DGL y' lösen:
> 1.1)Integration nach x => y=...
> 1.2)Nach y auflösen
> 1.3)Diff. nach x mit c als c(x) ergibt neues y' mit c(x)
> usw.
> 1.4)Lösung der homogenen DGL y=... in alte DGL einsetzen
> und diese mit zuvor errechnetem y' gleichsetzen
> 1.5) Auflösen nach c'(x)
> 1.6)Integration nach x ergibt c(x)
> 1.7)c(x) in Lösung der homogenen DGL y einsetzen.
>
> so wie hier
>
> https://matheraum.de/read?t=725965
In diesem Thread hast Du die Lösung einer inhomogenen DGL
auch richtig bestimmt. Nämlich die Lösung aus der Lösung der
homogenen DGL und der partikulären Lösung der inhomogenen
DGL zusammengesetzt.
Hier hast Du das aber nicht gemacht.
>
> Was hast du anders gemacht oder ich falsch, ich stehe auf
> dem Schlauch. Es müsste ja auch selsbt wenn wir
> abweichende Methoden verwenden das gleich Ergebnis
> herauskommen?!
>
> Danke
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Do 04.11.2010 | | Autor: | Peon |
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Ich habe den Fehler gefunden, ich habe alles soweit richtig gemacht und die Methode ist auch korrekt, habe nur bei der INTEGRATION von c'(x) die Integrationskonstante [mm] c_1 [/mm] vergessen, dadurch ändert sich alles. Habe die Lösung jetzt.
Schwere Geburt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Fr 05.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sorry aber sitze auch an der aufgabe und hab da ein kurzes problem...
bei der a) bin ich auch an der stelle
z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z
das hab ich jetzt soweit umgeschrieben dass ich auf folgendes kam:
\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} dz} = \integral_{a}^{b}{-2x^4-integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}
dann hab ich das integriert und kam auf
ln|z| = \bruch{-2}{5}x^5 -ln|x|+c
z = exp(-\bruch{2}{5}x^5-ln|x|+c)
= exp(-\bruch{2}{5}x^5)* exp(-ln|x|)*exp(c)
= exp(-\bruch{2}{5}x^5) * (-x) *d
wo isn da mein fehler...komme da irgendwie nicht auf dieses \bruch{-1}{x} ...
danke schonmal...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo peeetaaa,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> sorry aber sitze auch an der aufgabe und hab da ein kurzes
> problem...
> bei der a) bin ich auch an der stelle
> z'=-(2x^4+\bruch{1}{x})z
>
> das hab ich jetzt soweit umgeschrieben dass ich auf
> folgendes kam:
> \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} dz} =
> \integral_{a}^{b}{-2x^4-integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}
>
> dann hab ich das integriert und kam auf
> ln|z| = \bruch{-2}{5}x^5 -ln|x|+c
> z = exp(-\bruch{2}{5}x^5-ln|x|+c)
> = exp(-\bruch{2}{5}x^5)* exp(-ln|x|)*exp(c)
> = exp(-\bruch{2}{5}x^5) * (-x) *d
>
> wo isn da mein fehler...komme da irgendwie nicht auf dieses
> \bruch{-1}{x} ...
[mm]exp(-ln|x|)[/mm] ist nach den Logartihmengesetzen:
[mm]exp(-ln|x|)=exp(\ln\vmat{\bruch{1}{x}})=\bruch{1}{\vmat{x}}[/mm]
>
> danke schonmal...
>
>
Gruss
MathePower
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Variation der Konstanten![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
