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| Aufgabe | Es seien [mm] S_{1}, S_{2}, S_{3} [/mm] und [mm] S_{4} [/mm] vier paarweise verschiedene Lösungen der Riccati-Differentialgleichung x' = f(t) + g(t)x + [mm] h(t)x^2 [/mm] . Dann gilt:
[mm] \bruch{S_{1} - S_{3}}{S_{2} - S_{3}} \cdot \bruch{S_{2} - S_{4}}{S_{1} - S_{4}} \equiv [/mm] const |
Hallo,
ich finde bei obiger Aufgabe leider keinen Ansatz. Wir haben zu Riccati-DGL's auch nicht viel gemacht. Nur, dass wenn man eine Lösung (S(t)) hat, mit dem Ansatz x(t) = S(t) + [mm] \bruch{1}{y(t)} [/mm] die DGL wieder auf eine lineare DGL zurückführt.
Ich habe den Ausdruck auch noch ausmultipliziert, wobei das auch nicht weitergeholfen hat.
Ich würde mich für einen Hinweis auf die Herangehensweise sehr freuen.
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Hallo Stephan123,
> Es seien [mm]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/mm] und [mm]S_{4}[/mm] vier paarweise
> verschiedene Lösungen der Riccati-Differentialgleichung x'
> = f(t) + g(t)x + [mm]h(t)x^2[/mm] . Dann gilt:
>
> [mm]\bruch{S_{1} - S_{3}}{S_{2} - S_{3}} \cdot \bruch{S_{2} - S_{4}}{S_{1} - S_{4}} \equiv[/mm]
> const
> Hallo,
>
> ich finde bei obiger Aufgabe leider keinen Ansatz. Wir
> haben zu Riccati-DGL's auch nicht viel gemacht. Nur, dass
> wenn man eine Lösung (S(t)) hat, mit dem Ansatz x(t) =
> S(t) + [mm]\bruch{1}{y(t)}[/mm] die DGL wieder auf eine lineare DGL
> zurückführt.
Die Differenz zweier Lösungen genügt einer Bernoulli-DGL.
Ist eine Lösung [mm]S\left(t\right)[/mm] der Riccati-DGL bekannt,
so lassen sich alle anderen Lösungen angegeben.
Durch den obigen Ansatz erhältst Du dann alle anderen Lösungen,
wobei [mm]y\left(t\right)[/mm] eine Lösung der Bernoulli-DGL ist.
> Ich habe den Ausdruck auch noch ausmultipliziert, wobei
> das auch nicht weitergeholfen hat.
>
> Ich würde mich für einen Hinweis auf die Herangehensweise
> sehr freuen.
Gruss
MathePower
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Erstmal danke für die Antwort,
aber leider kann ich damit nicht so viel anfangen.
> Die Differenz zweier Lösungen genügt einer Bernoulli-DGL.
Meinst du ich soll [mm] S_{1} [/mm] - [mm] S_{2} [/mm] berechnen? Ich könnte mir da nur vorstellen die Riccati-DGL dann zu x = [mm] \bruch{1}{g(t)} [/mm] [x' - f(t) - [mm] h(t)x^2] [/mm] umzuvormen und die beiden Lösungen einzusetzten und voneinander abzuziehen. Nur führt das zu nichts.
> Ist eine Lösung $ [mm] S\left(t\right) [/mm] $ der Riccati-DGL bekannt,
> so lassen sich alle anderen Lösungen angegeben.
> Durch den obigen Ansatz erhältst Du dann alle anderen Lösungen,
> wobei $ [mm] y\left(t\right) [/mm] $ eine Lösung der Bernoulli-DGL ist.
Wenn man den Ansatz weiterführt kommt man schließlich zu y' = y[g(t) + 2 [mm] \cdot [/mm] S(t) [mm] \cdot [/mm] h(t)] + h(t) . Wenn man nun diese DGL löst erhält man alle Lösungen der Riccati-DGL, ich kann sie ja aber nicht lösen, da ich nichts explizites gegeben habe.
Ich weiß leider nicht genau, was du mit der Bernoulli-DGL meinst und wie ich diese mit dem Ansatz in Verbindung bringen kann.
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Hallo Stephan123,
> Erstmal danke für die Antwort,
> aber leider kann ich damit nicht so viel anfangen.
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> > Die Differenz zweier Lösungen genügt einer
> Bernoulli-DGL.
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> Meinst du ich soll [mm]S_{1}[/mm] - [mm]S_{2}[/mm] berechnen? Ich könnte mir
> da nur vorstellen die Riccati-DGL dann zu x =
> [mm]\bruch{1}{g(t)}[/mm] [x' - f(t) - [mm]h(t)x^2][/mm] umzuvormen und die
> beiden Lösungen einzusetzten und voneinander abzuziehen.
> Nur führt das zu nichts.
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> > Ist eine Lösung [mm]S\left(t\right)[/mm] der Riccati-DGL bekannt,
> > so lassen sich alle anderen Lösungen angegeben.
>
> > Durch den obigen Ansatz erhältst Du dann alle anderen
> Lösungen,
> > wobei [mm]y\left(t\right)[/mm] eine Lösung der Bernoulli-DGL ist.
>
> Wenn man den Ansatz weiterführt kommt man schließlich zu
> y' = y[g(t) + 2 [mm]\cdot[/mm] S(t) [mm]\cdot[/mm] h(t)] + h(t) . Wenn man
> nun diese DGL löst erhält man alle Lösungen der
> Riccati-DGL, ich kann sie ja aber nicht lösen, da ich
> nichts explizites gegeben habe.
> Ich weiß leider nicht genau, was du mit der Bernoulli-DGL
> meinst und wie ich diese mit dem Ansatz in Verbindung
> bringen kann.
Nun, zwei Lösungen der Riccati-DGL unterscheiden sich genau
um das reziproke der Lösung der Bernoulli-DGL.
Ist [mm]S_{1}\left(t\riight)[/mm] eine Lösung der Riccati-DGL
und [mm]y\left(t\right)[/mm] eine Lösung der Bernoulli-DGL.
so ist z.B.
[mm]S_{2}\left(t\right)=S_{1}\left(t\right)+\bruch{1}{y\left(t\right)}[/mm]
Dann musst Du doch zeigen, daß das in der Aufgabe Verhältnis
dieser Differenzen konstant ist.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
komme leider immer noch nicht weiter.
> Nun, zwei Lösungen der Riccati-DGL unterscheiden sich genau
> um das reziproke der Lösung der Bernoulli-DGL.
Ich weiß nicht genau was du mit das reziproke meinst, auch weiß ich immer noch nicht, welche Bernoulli-DGL du meinst.
> Ist $ S_{1}\left(t\riight) $ eine Lösung der Riccati-DGL
> und $ y\left(t\right) $ eine Lösung der Bernoulli-DGL.
> so ist z.B.
>
> $ S_{2}\left(t\right)=S_{1}\left(t\right)+\bruch{1}{y\left(t\right)} $
Wie genau kann ich das nun benutzen? ich weiß auch nicht wie du auf diese gleichung gekommen bist.. .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 15.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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