Restriktion und Komposition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
im meinem Kursscript wird im Themengebiet der reellen Funktionen eine Definiton für Restriktion und Komposition gegeben.
Die Definiton für die Restriktion sei laut Script:
[mm]f|_D' : D' \to \IR, x \to f(x) [/mm]
Die Definiton für doe Komposition:
[mm]g \circ f : D' \to \IR, x \to g(f(x)) [/mm]
So, aber viel mehr wird dazu nicht gesagt. Ich kann damit ehrlich gesagt nicht viel anfangen. Wie ich das nun zu deuten habe, wie ich es einzusetzen habe. Ganz allgemein was das zu bedeuten hat.
Vielleicht kann mir das ja jemand näher bringen.
Ich bedanke mich schon mal.
Grüsse
Der Fruchtsaft
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Fruchtsaft,
die Restriktion bedeutet einfach nur, dass du eben nicht alle möglichen Werte für x als Argument zulassen willst, sondern nur einen Bereich.
Beispiel : $ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $ ist ja eigentlich für ganz $ [mm] \IR [/mm] $ definiert, wenn du aber nun schreibst $ [mm] f_{|[1,2]} [/mm] $ bedeutet das, dass du nur alle x im Intervall [1,2] als argument zulässt, d.h. dein Bild ist auch nur ein kleiner Teil der Parabel (y-Werte von 1 bis 4)
Die Komposition ist die Hintereinanderausführung von zwei gegebenen Funktionen g und f, wobei ganz wichtig ist, dass das Bild von f im Definitionsbereich von g liegen muss !!
(Das geschieht manchmal erst, wenn man den Def-Bereich von f einschränkt)
Beispiel : $f(x)=2x$ und $ [mm] g(x)=\wurzel{x} [/mm] $ (beides im reellen)
dann ist $ [mm] (g\circ [/mm] f [mm] )(x)=g(f(x))=\wurzel{2x} [/mm] $
das ist natürlich nicht für negative x definiert (im reellen), deshalb müssen wir den Definitionsbereich von f einschränken auf $ [mm] \IR^{+}_0 [/mm] $ und erhalten dann: $ [mm] (g\circ [/mm] f ) = [mm] \wurzel{2x} [/mm] $ mit $ [mm] (g\circ [/mm] f ) : [mm] \IR^{+}_0 \to \IR^{+}_0 [/mm] $
Alles klar?
Frag ruhig weiter, wenn etwas unklar ist.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallo DaMenge,
Danke für die Antwort.
Also mit der Restriktion kann ich einen bestimmten Wertebereich einschränken. In der Regel schränke ich also erst einmal einen Bereich ein, um anschließend eine Komposition von zwei Werten durchführen zu können. Ist diese grobe zusammenfassung richtig?
Aber wie wichtig sind diese beiden Defintionen im Bereich Funktionen. Ich wüsste nicht, wann es sich lohnen würde einen Restriktion bzw Komposition durchzuführen.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Also mit der Restriktion kann ich einen bestimmten
> Wertebereich einschränken. In der Regel schränke ich also
> erst einmal einen Bereich ein, um anschließend eine
> Komposition von zwei Werten durchführen zu können. Ist
> diese grobe zusammenfassung richtig?
Du kompositionierst zwei Funktionen (nicht Werte), aber ansonsten richtig, ja.
> Aber wie wichtig sind diese beiden Defintionen im Bereich
> Funktionen. Ich wüsste nicht, wann es sich lohnen würde
> einen Restriktion bzw Komposition durchzuführen.
Also den Begriff der Komposition braucht man ziemlich häufig - zum Beispiel die Kettenregl ist nur für Kompositionen gedacht und allein diese braucht man sehr sehr sehr häufig.
Den Begriff bzw. die Notation für die Restriktion braucht man (meiner Meinung nach) meistens nur um etwas mathematisch korrekt aufzuschreiben.
Man könnte auch im meinem obigen Beispiel "sagen" , dass man nur Werte aus dem Intervall [1,2] betrachten will, aber mit der Notation sieht es eben erst mathematisch aus.
Weil dies aber nur meien Meinung ist, lasse ich Frage vorerst offen..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 18.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also mit der Restriktion kann ich einen bestimmten
> Wertebereich einschränken. In der Regel schränke ich also
> erst einmal einen Bereich ein, um anschließend eine
> Komposition von zwei Werten durchführen zu können. Ist
> diese grobe zusammenfassung richtig?
Erster Teil ja, der zweite imo nein, warum kommt gleich (und ist eine andere Meinung als DaMenge sie hat.)
> Aber wie wichtig sind diese beiden Defintionen im Bereich
> Funktionen. Ich wüsste nicht, wann es sich lohnen würde
> einen Restriktion bzw Komposition durchzuführen.
Komposition ist halt ... braucht man dauernd, nicht nur wegen der Kettenregel! Ein einfaches Beispiel waere auch eine Fliessbandanlage: zuerst wird der eine Teil produziert, und von diesem Teil an einer anderen Stelle entsprechend weiter gemacht. Kompositionen sind auch fuer viele Beweise wichtig: Komposition stetiger Abbildungen, diffb. Abbildungen, messbarer Abbildung sind wieder stetig, diffb., messbar. Ich finde das Konzept sehr inuitiv - und braucht es wirklich dauernd (auch wenn man es vielleicht nicht merkt.)
Restriktionen: nein, man braucht es nicht dauernd, um Kompositinen hinschreiben zu duerfen. Es gbit viele andere Faelle, wo das wichtig wird: das Bild einer kompakten Menge ist kompakt, eines abgeschlossenen Intervalls wieder eins. Wenn du auf so einem Gebiet ein Maximum/Minimum suchst (eher: Existenz zeigen willst), geht das nur sauber, wenn man sich eben auf so eine Menge beschrankt. Auch gelten viele Konvergenzsaetze nicht fuer ganz [m]\IR[/m]. Ein weiteres Feld sind Extrema unter Nebenbedingungen - da schraenkt man wieder ganz natuerlich die Funktion ein. Es gbit viele gute Gruende, so etwas zu machen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mo 18.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi SEcki,
> > Also mit der Restriktion kann ich einen bestimmten
> > Wertebereich einschränken. In der Regel schränke ich also
> > erst einmal einen Bereich ein, um anschließend eine
> > Komposition von zwei Werten durchführen zu können. Ist
> > diese grobe zusammenfassung richtig?
>
> Erster Teil ja, der zweite imo nein, warum kommt gleich
> (und ist eine andere Meinung als DaMenge sie hat.)
Ich habe es so vertsanden, das Fruchtsaft auf seine gegebene Darstellung der Komposition hinaus will, wo ein D' als Definitionsbereich beschränkt wurde.
Deshalb hatte ich auch ein Beispiel von Kompositionen gewählt, wo man den ersten Def.Bereich einschränken muss.
Dass das im allgemeinen Fall nicht immer notwendig ist, habe ich hoffentlich gesagt^^
Wenn nicht dann eben jetzt 
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Vielleicht kann ja jemand noch etwas dazu schreiben, aber ansonsten hast du mir schon ziemlich weiter geholfen, Danke!
Ich will diesen Thread noch nutzen um meine nächste Frage zu stellen. Es hat auch mit Funktionen und zwar den monotonen Funktionen zu tun. Und zwar der Unterschied zwischen den Begrifflichkeiten monoton wachsend (monoton fallend) und streng monoton wachsend (streng monoton fallend).
Wie erkenne ich welche Monotonie und wie sind die definiert?
Wenn mir hier noch jemand helfen könnte.
Auf jeden Fall schon mal Danke für jegliche Mühen.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen nochmal,
also "monoton wachsend auf einem Definitionsbereich"bedeutet, dass eine Funktion auf diesem Def-Bereich auf keinen Fall kleiner wird, d.h. dass sie entweder wächst oder zumindest gleich bleibt.
"streng monoton wachsend" bedeutet, dass die Funktion auf jeden Fall wächst, d.h. sie darf an keiner Stelle gleich bleiben.
analoge Dinge gelten dann auch für das Fallen der Funktion.
Und wie bekommt man dies nun heraus?
Nun ja, die Ableitung gibt uns die Steigung der Funktion an.
D.H. wenn unsere Steigung in einem Intervall überall echt größer als 0 ist, dann wissen wir dass sie überall (auf dem Intervall) echt steigt, d.h. streng monoton steigend ist.
Wenn die Steigung überall größer oder gleich 0 ist (und an einer Stelle auch 0 wird), dann ist sie "nur" monoton steigend...
[Entsprechend für echt kleiner als 0 bzw. kleiner gleich 0 für fallende Funktionen]
Also Beispiele:
f(x)=3x+5 (auf ganz R)
->f'(x)=3 , also überall größer als 0, d.h. streng monoton steigend.
g(x)=x³ -> g'(x)=3x² -> überall außer bei x=0 größer als 0 , d.h. g ist monoton steigend und $ [mm] g_{| \IR \backslash \{ 0 \}} [/mm] $ ist streng monoton steigend, denn wir haben ja jetzt überall in der Ableitung einen Wert echt über 0 .
h(x)=-5x+6 - > h'= -5 <0 , also streng monoton fallend
Also, was ist dann die Monotonie von f(x)=x² auf den vier Intervallen:
1) ]-unendlich , 0 [
2) ]-unendlich , 0 ]
3) [ 0, unendlich [
4) ] 0, unendlich [
dannach solltest du es auf jeden Fall verstanden haben ;)
siehe auch in der Mathebank :  monoton
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Danke dir für die erneute Ausführung..
Zu deiner Aufgabe...
Also zunächst mal von der Ableitung ausgehen, die ja f'(x)=2x sein sollte würde ich spontan sagen, wieder überall ausser bei x=0...
Also bei 2+3 streng monoton steigend bzw fallend und bei 1+4 'nur' monoton steigen bzw fallend
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
nee, leider ist da noch ein Verständnis-Problem.
Eines mache ich nochmal vor:
Also du hast recht, die Ableitung wird nur bei x=0 zu 0
aber was ist die Ableitung links davon?
also in dem Intervall ]-unendlich,0[ (offenes Intervall)
Dort ist die Ableitung immer echt negativ (2x für negative x) und deshalb streng monoton fallend.
Wenn man jetzt noch die 0 mit zu dem Intervall nimmt, also ]-unendlich,0] betrachtet, dann ist sie ja jetzt nicht immer negativ, denn in 0 wird sie ja 0
Also ist die Funktion dort "nur" monoton fallend (kleiner oder gleich 0)
So - und nun die beiden anderen Intervalle von dir !
(Nur nicht den Mut verlieren, es muss immer erst einmal Klick machen...)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hmm, so war das ja eigentlich auch gemeint bei mir. Nur schlecht dargestellt, glaube ich..
1) ]-unendlich , 0 [
streng monoton fallend
2) ]-unendlich , 0 ]
monoton fallend, weil die 0 hinzukommt. Das heisst meinem Verständnis nach, dass die Funktion nun auf keinen Fall steigt, aber auch nicht unbedingt fallen muss...
3) [ 0, unendlich [
monoton steigend mit selber Begründung wie 2)
4) ] 0, unendlich [
streng monoton steigend, wei die Ableitung immer positiv bleibt..
Ich hoffe doch, dass es nun stimmt..
Grüsse
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
!
