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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 02.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \IR[x]/(x^2+1) \cong \IC [/mm] |
Ich verstehe ein paar Sachen im Beweis nicht und es wäre cool, wenn ihr diese mir erklären könnt (hier wird der Homomorphiesatz genutzt).
[...]
"Das Einsetzen von i für x def. einen surj. Hom. [mm] $\phi: \IR[x] [/mm] -> [mm] \IC$, [/mm] dessen Kern aus den reellen Polynomen besteht, die i als Nullstellen haben.
Wenn i eine Nullstelle eines reellen Polynoms p(x) ist, so muss auch [mm] \overline{i} [/mm] = -i eine Nullstelle sein.
Daher teilen x-i und x+1 das Polynom p(x).
Der Kern von [mm] \phi [/mm] ist also die Menge der reellen Polynome, die durch (x-1)(x+1) = [mm] x^2 [/mm] + 1 teilbar ist."
[...]
Meine Fragen:
(1)
Ich verstehe nicht, warum -i ebenfalls eine Nullstelle sein muss.
(2)
(x-i) teilt p(x), weil i eine Nullstelle ist. Liegt das daran, dass man das abspalten kann?
Aber (x-i) liegt doch nicht in [mm] \IR[x]?
[/mm]
(3)
Warum ist der Kern (x-i) und (x+i)? Also warum nicht (x-i) oder (x+i)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 So 02.09.2012 | | Autor: | teo |
> Zeigen Sie, dass [mm]\IR[x]/(x^2+1) \cong \IC[/mm]
> Ich verstehe ein
> paar Sachen im Beweis nicht und es wäre cool, wenn ihr
> diese mir erklären könnt (hier wird der Homomorphiesatz
> genutzt).
>
> [...]
> "Das Einsetzen von i für x def. einen surj. Hom. [mm]\phi: \IR[x] -> \IC[/mm],
> dessen Kern aus den reellen Polynomen besteht, die i als
> Nullstellen haben.
> Wenn i eine Nullstelle eines reellen Polynoms p(x) ist, so
> muss auch [mm]\overline{i}[/mm] = -i eine Nullstelle sein.
> Daher teilen x-i und x+1
Hier muss x-i und x+i stehen
> das Polynom p(x).
> Der Kern von [mm]\phi[/mm] ist also die Menge der reellen Polynome,
> die durch (x-1)(x+1) = [mm]x^2[/mm] + 1 teilbar ist."
Das ist falsch: es ist [mm] (x-i)(x+i) = x^2 +1 [/mm]
> [...]
>
> Meine Fragen:
>
> (1)
> Ich verstehe nicht, warum -i ebenfalls eine Nullstelle
> sein muss.
Die Abbildung x [mm] \mapsto x^2+1 [/mm] ist gerade. Oder: [mm] x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm \wurzel{-1} = \pm i [/mm]
> (2)
> (x-i) teilt p(x), weil i eine Nullstelle ist. Liegt das
> daran, dass man das abspalten kann?
Ja, Linearfaktorzerlegung!
> Aber (x-i) liegt doch nicht in [mm]\IR[x]?[/mm]
Du hast recht, x-i liegt nicht in [mm] \IR[x]. [/mm] Das ist hier aber auch nicht verlangt. Gesucht sind alle reellen Polynome, die durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar sind.
Wegen [mm] (x-i)(x+i) = x^2+1 [/mm] sind die Polynome, die im Kern liegen, auch durch x-i und x+i teilbar!
> (3)
> Warum ist der Kern (x-i) und (x+i)? Also warum nicht (x-i)
> oder (x+i)?
Das steht nirgendwo! Der Kern sind alle Polynome die durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar sind s.o.
>
>
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 02.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
> Hier muss x-i und x+i stehen
> Das ist falsch: es ist [mm](x-i)(x+i) = x^2 +1[/mm]
Oh, stimmt! War ein dummer Tippfehler von mir!
> Die Abbildung x [mm]\mapsto x^2+1[/mm] ist gerade. Oder: [mm]x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm \wurzel{-1} = \pm i[/mm]
Aber woher weiß ich schon, dass [mm] (x^2+1) [/mm] der Kern ist?
Ich habe gedacht, das muss man herausfinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 02.09.2012 | | Autor: | teo |
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> > Hier muss x-i und x+i stehen
>
> > Das ist falsch: es ist [mm](x-i)(x+i) = x^2 +1[/mm]
>
> Oh, stimmt! War ein dummer Tippfehler von mir!
>
> > Die Abbildung x [mm]\mapsto x^2+1[/mm] ist gerade. Oder: [mm]x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm \wurzel{-1} = \pm i[/mm]
>
> Aber woher weiß ich schon, dass [mm](x^2+1)[/mm] der Kern ist?
> Ich habe gedacht, das muss man herausfinden?
>
Hallo, ja das macht man ja, indem man diesen surjektiven Homomorphismus bestimmt. Bei diesem setzt man ja i für alle x ein. Also wie ist jetzt der Kern definiert [mm] Ker(\phi) [/mm] = [mm] \{f \in \IR[x] : f(i) = 0\}. [/mm] Also suchst du jetzt alle Polynome f [mm] \in \IR[x], [/mm] die eben i als Nullstelle besitzen. Und das sind eben alle, die durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar sind. Also ist das Ideal [mm] (x^2+1) [/mm] (dir ist denk ich klar, dass das Ideal aller Polyome ist, die von [mm] x^2+1 [/mm] erzeugt werden) der Kern von [mm] \phi. [/mm] Und du erhälst sofort die Isomorphie.
Man kann das auch anders zeigen:
Zeige [mm] x^2+1 [/mm] ist irreduzibel. [mm] \IR[x] [/mm] ist als Polynomring über einem Körper ein Hauptidealbereich, folglich sind alle irreduziblen Elemente prim. Die Primelemente sind gerade die Maximalen Ideale. Also ist [mm] \IR[x]_{(x^2+1)} [/mm] ein Körper. Dieser Körper hat Dimension zwei über [mm] \IR [/mm] ist also isomorph zu [mm] \IC.
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 02.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Vielen Dank!
Eine Frage ist aber noch da:
> Hallo, ja das macht man ja, indem man diesen surjektiven
> Homomorphismus bestimmt. Bei diesem setzt man ja i für
> alle x ein. Also wie ist jetzt der Kern definiert [mm]Ker(\phi)[/mm]
> = [mm]\{f \in \IR[x] : f(i) = 0\}.[/mm] Also suchst du jetzt alle
> Polynome f [mm]\in \IR[x],[/mm] die eben i als Nullstelle besitzen.
> Und das sind eben alle, die durch [mm]x^2+1[/mm] teilbar sind.
Warum nicht x-i oder x+i?
> Zeige [mm]x^2+1[/mm] ist irreduzibel. [mm]\IR[x][/mm] ist als Polynomring
> über einem Körper ein Hauptidealbereich, folglich sind
> alle irreduziblen Elemente prim. Die Primelemente sind
> gerade die Maximalen Ideale. Also ist [mm]\IR[x]_{(x^2+1)}[/mm] ein
> Körper. Dieser Körper hat Dimension zwei über [mm]\IR[/mm] ist
> also isomorph zu [mm]\IC.[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 02.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
es geht nicht um x-i oder x+i. Wir haben doch bewiesen, dass gerade diejenigen Polynome im Kern liegen die durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar sind.
Jetzt betrachte z.B. [mm](x-i)(x+1) = x^2 +(1-i)x -1 \not\in\IR[x] [/mm] aber duch x-i teilbar. Offensichtlich ist es nicht durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar, also liegts nicht im Kern!
Die Beobachtung ist doch die gewesen, dass [mm] x^2+1 = (x-i)(x+i) [/mm] ist, also muss jedes Polynom, das durch [mm] x^2+1 [/mm] teilbar ist, durch x-i und x+i teilbar sein....
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 So 02.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Vielen, vielen Dank!
Sorry, dass ich dich zur Verzweiflung gebracht habe...
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