Restklasse/ Gruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 06.01.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Betrachten Sie nun die Teilmenge R*_{8} := [mm] {a\in R_8 :ggT(a;8) = 1}, [/mm] also alle Restklassen aus [mm] R_8, [/mm] deren Repräsentanten teilerfremd zu 8 sind. Stellen Sie die Verknüpfungstafel von R*_8 bezüglich der Restklassenmultiplikation modulo 8 auf und begründen Sie,
dass R*_{8};⊙) eine kommutative Gruppe ist. |
Ich habe in der ersten Teilaufgabe dazu die Verknüpfungstabelle von [mm] R_8 [/mm] bezüglich der Restklassenmultiplikation bestimmt.
Aber was ist die Teilmenge R*_{8} := [mm] {a\in R_{8} :ggT(a;8) = 1}?
[/mm]
Das müsste ja alle a={1,3,5,7} sein
Aber wie soll ich die Verknüpfungstafel davon aufstellen? Sind dann nicht die Elemente 0,1,2,3,4, sondern nur 1,3,5,7 in den Spalten?
kommutative Gruppe heißt hier doch a*b=b*a, richtig? kommutativ würde in dem Fall ja zutreffen! Aber es handelt sich nicht um eine Gruppe, da die anderen Voraussetzungen wie inverses oder neutrales Element nicht erfüllt sind!
Liege ich so richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du hast als Zeilen/Spalten 1,3,5 und 7. Die Verknüpfung ist auch kommutativ (weil die Tabelle eine symmetrische Matrix sein sollte). Aber du hast dort wirklich eine Gruppe mit neutralen Element 1! z.B. ist das Inverse von 3 die 3 selbst, wegen 3*3=9=1 in [mm] \IZ_8. [/mm] Das siehst du aber auch, wenn du die Tabelle einfach ausfüllst! Dort erkennst du die 1 als neutrales Element und dass in jeder Zeile/Spalte die 1 vorkommt, d.h. jede Zahl ein Inverses hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 06.01.2013 | | Autor: | heinze |
Danke Teufel! Es ist tatsächlich eine Gruppe! ;)
Nun ist alles klar, war mir bloß unsicher!
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 15.01.2013 | | Autor: | heinze |
Ich habe hier noch eine Frage: Es ging um die Zeilen/ Spalten 1,3,5,7
Ich soll zeigen, dass es sich um eine kommutative Gruppe handelt. Aber da hakt es.
1. Abgeschlossenheit weil mit der Multiplikation wieder ein Element aus der Restklasse entsteht
2. Assoziativgesetzt....passt hier auch
3. neutrales Element ist die 1, passt also auch
4. inverses Element: HIER habe ich ein Problem...inverses Element ist doch das, wo ich 0 erhalte, aber das passt bei 1,3,5,7 nirgend, weil in der Tabelle gar keine 0 vorkommt! was nun?
5. kommutativität ist erfüllt!
Und noch eine Frage: Ist [mm] R_8 \{0} [/mm] bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe?? Müsste passen oder?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast doch ne multiplikative Gruppe? was ist da das Inverse? Dusolltest posts wirklich gruendlich lesen,das stand doch in Teufels post!
es ist frustrierend zu sehen, wie fluechtig du Hilfen ansiehst!
gruss leduart
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