Restglieder einer Taylorreihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Di 24.01.2006 | | Autor: | kokiweb |
Hallo,
ich arbeite zum Thema "Resglied nach Taylor" gerade das folgende Dokument durch:
![[]](/images/popup.gif) http://www.antigauss.de/taylor2/Taylor2.pdf
Bis zu einem Punkt, an dem ich den kompletten Zusammenhang verliere, ist alles sehr deutlich (wenn auch mit vielen Rechtschreibfehlern) erklärt.
Auf Seite 5 taucht plötzlich ein [mm] R_{n}(x,x_{0}) [/mm] auf, obwohl vorher beim Restglied immer nur von [mm] R_{n}(x) [/mm] die Rede war. Hier geht es um die Restgliedabschätzung nach Taylor (Integraldarstellung des Restgliedes).
Die Zeile, die ich nicht verstehe lautet:
"Nun gilt aber nach Definition der Restglieder: [mm] R_{n}(x,x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}+R_{1}(x) [/mm] "
Wie ist [mm] R_{n}(x,x_{0}) [/mm] definiert? Und wie kommt diese Gleichung zustande? Ich erkenne hier lediglich, dass
[mm] \bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}
[/mm]
Summand einer Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] ist, und [mm] R_{n+1}(x) [/mm] das weiterführende Taylorpolynom (der Approximationsfehler an der Stelle x) ist.
Danke für die Hilfsbereitschaft an alle Sternenträger des Club Zeus´
Sascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Do 26.01.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Sascha! 
> http://www.antigauss.de/taylor2/Taylor2.pdf
> Hallo,
>
> ich arbeite zum Thema "Resglied nach Taylor" gerade das
> folgende Dokument durch:
>
> http://www.antigauss.de/taylor2/Taylor2.pdf
>
> Bis zu einem Punkt, an dem ich den kompletten Zusammenhang
> verliere, ist alles sehr deutlich (wenn auch mit vielen
> Rechtschreibfehlern) erklärt.
>
> Auf Seite 5 taucht plötzlich ein [mm]R_{n}(x,x_{0})[/mm] auf, obwohl
> vorher beim Restglied immer nur von [mm]R_{n}(x)[/mm] die Rede war.
Das ist nur eine Ungenauigkeit, meint aber das gleiche. Das Restglied ist natürlich abhängig vom Entwicklungspunkt [mm] $x_0$, [/mm] und eine Funktion in $x$, deswegen die plötzlich andere Schreibweise.
> Hier geht es um die Restgliedabschätzung nach Taylor
> (Integraldarstellung des Restgliedes).
>
> Die Zeile, die ich nicht verstehe lautet:
>
> "Nun gilt aber nach Definition der Restglieder:
> [mm]R_{n}(x,x_{0})[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}+R_{1}(x)[/mm] "
Bei mir steht:
[mm] $R_{n}(x,x_{0})= \bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}+R_{\red{n+}1}(x)$
[/mm]
> Wie ist [mm]R_{n}(x,x_{0})[/mm] definiert? Und wie kommt diese
> Gleichung zustande? Ich erkenne hier lediglich, dass
>
> [mm]\bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}[/mm]
>
> Summand einer Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] ist,
> und [mm]R_{n+1}(x)[/mm] das weiterführende Taylorpolynom (der
> Approximationsfehler an der Stelle x) ist.
Das ist ganz einfach:
Auf Seite 3 ganz unten ist das Restglied "definiert":
[mm] $R_n(x)=R_n(x,x_0)=\summe_{k=n}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
[/mm]
spaltet man den ersten Summanden ab steht da sofort
[mm] $=\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n+\summe_{k=\red{n+1}}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
[/mm]
[mm] $=\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n+R_{n+1}(x,x_0)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Sa 28.01.2006 | | Autor: | kokiweb |
Danke danke,
ja, n+1 hieß es natürlich. Ich habe das vor lauter Verzweifelung übersehen...
Nun, diese "Ungenauigkeit" hat mich ca. 3 Stunden unproduktive Zeit gekostet, bis ich dann in Analysis zu lernen aufgehört habe. Ich stoße in Analysis ständig auf solche "ungenauigkeiten" und bin dann SEHR LANGSAM in der Erkennung des Sachverhaltes.
Danke sehr
Sascha
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