Restgliedbestimmung Taylorpoly < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben :
[mm] f:(0;\infty)\to\IR, x\mapsto(8-x)*ln(2x)
[/mm]
A) Bestimmen Sie das Taylorpolynom [mm] p_3 [/mm] dritten Grades im Punkt [mm] x_0=3
[/mm]
B) Bestimmen Sie eine sinnvolle Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler [mm] |p_3(x)-f(x)| [/mm] auf dem Intervall [2;4] mit Hilfe der Lagrangschen Restglieddarstellung |
Hi
Ich komme bei B nicht weiter. Also für A habe ich die erste bis dritte Ableitung gebildet:
f'(x)= [mm] \bruch{8}{x}-ln(2x)-1
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{8}{x^2}-\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{16}{x^3}+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Das Taylorpolynom müsste alg. 3. Grades so aussehen:
[mm] p_3(x)=f(x)+(x-x_0)*f'(x_0)+\bruch{(x-x_0)^2}{2!}*f''(x_0)+\bruch{(x-x_0)^3}{3!}*f'''(x_0)
[/mm]
einsetzen ergibt bei mir (habe für [mm] x_0 [/mm] dann 3 und für die f';f'';f''' von [mm] (x_0) [/mm] die zugehörigen Formeln eingesetzt, da wir theoretisch keinen Rechner nutzen sollen und ein Paar der Sachen kann man nicht so toll im Kopf rechnen :) ):
[mm] p_3(x)= [(8-3)*ln(2*3)]+(x-3)*(\bruch{8}{3}-ln(2*3)-1)+\bruch{(x-3)^2}{2}*(-\bruch{8}{3^2}-\bruch{1}{3})+\bruch{(x-3)^3}{6}*(\bruch{16}{3^3}+\bruch{1}{3^2})
[/mm]
Die Formel aus meiner Vorlesung für die Restglieddarstellung lautet (hab xi nicht gefunden und phi dafür genommen):
[m]R_n(x)=\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}\,(\phi)[/m]
zu xi bzw. phi hat er uns nichts weiter gesagt, außer, dass es zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegt und man nicht genau weiß wo.
Im Papula steht für Lagrangsche Darst.
[m]R_n(x)=\bruch{f^{n+1}\,(\phi*x)}{(n+1)!}*x^{n+1} \,für\, (0 < \phi < 1)[/m]
Also ich denke ich brauch ja auf jeden Fall hier noch die nächsthöhere Ableitung [mm] f^{IV}. [/mm] Das ist bei mir:
[mm] f^{IV}=-48x^{-4}-2x^{-3}
[/mm]
So und nu komm ich auch schon nicht so recht weiter ich kann mir einfach nicht erklären was nun zu tun ist. Also zum einen verstehe ich nicht ganz was eine 'sinnvolle Abschätzung' sein soll.
- Soll ich den max. Fehler berechnen? (Ich könnte mir denken, dass am Rand der Fehler am größten ist.)
- Was setze ich wo in die Formeln ein (habe ja zwei zur AUswahl wobei die bestimmt das selbe Aussagen und ich beide nur nicht richtig verstehe)
-> In der 2. Formel für die RGD steht ja über dem Bruchstrich, dass ich da den 'y-Wert' der nächsthöheren Ableitung multipliziert mit [mm] \phi [/mm] einsetzen soll richtig? Darunter ist klar, die nächsthöhere Fak..
-> Und für das x?
Für mich wäre es sehr Hilfreich zu erfahren was ich in welcher Reihenfolge zu tun habe und besonders was es mit dem [mm] \phi [/mm] auf sich hat.
Grüße
sub
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich habe deine ableitungen jetzt nicht nachgerechnet, ich denke das kannst du selbst. zu der restgliedabschätzung:
> Die Formel aus meiner Vorlesung für die
> Restglieddarstellung lautet (hab xi nicht gefunden und phi
> dafür genommen):
>
> [m]R_n(x)=\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}\,(\phi)[/m]
>
> zu xi bzw. phi hat er uns nichts weiter gesagt, außer, dass
> es zwischen x und [mm]x_0[/mm] liegt und man nicht genau weiß wo.
es gilt doch für alle $x [mm] \in [/mm] [2,4]$: [mm] $|R_n(x)| \leq \max_{\phi \in [2, 4]} \left| \frac{(x - 3)^4}{4!}f^{(4)}(\phi) \right| [/mm] = [mm] \max_{\phi \in [2, 4]} \left| f^{(4)}(\phi) \right| \left| \frac{(x - 3)^4}{4!}\right| [/mm] $
jetzt musst du nur noch den wert der vierten ableitung in dem intervall abschätzen, schon hast du eine obere schranke für den fehler. das [mm] $\phi$ [/mm] ist dabei eben eine geeignete zwischenstelle zwischen dem entwicklungs- und auswertungspunkt der taylorreihe. die papula darstellung bezieht sich wohl auf sogenannte maclaurin-reihen mit entwicklungspunkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$, ist also ein spezialfall der in deiner vorlesung angegeben formel.
grüße
andreas
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Was genau bedeutet abschätzen? Soll das bedeuten, dass ich meine 4. Ableitung nehme und dort für x beliebige Werte zwischen 2 und 4 (oder genau die 2 und die 4) einsetze? Vlt. hab ich nicht ganz verstanden was eine Abschätzung ist.
Verstehe auch nicht ganz was nun die größer/kleiner_ gleich Zeichen bedeuten sollen.
Also auf linker seite steht [mm] R_n(x) [/mm] das ist der Fehler oder? Auf der rechten Seite steht der Max Fehler? Dann steht da: Fehler ist kleiner als max. Fehler?!
Ich verstehe anscheinend nicht worin genau hier meine Aufgabe liegt. Ich soll doch den Fehler abschätzen der hier durch ersetzen des Taylorplynoms entsteht. Und den rechne ich mit der Formel aus. Aber was haben die dann die größer/kleiner beziehungen da zu suchen? Kann mir das jemand in Worten ein bisschen erläutern?
Wozu brauche ich eine Zwischenstelle [mm] \phi?
[/mm]
Grüße
Sub
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Was genau bedeutet abschätzen? Soll das bedeuten, dass ich
> meine 4. Ableitung nehme und dort für x beliebige Werte
> zwischen 2 und 4 (oder genau die 2 und die 4) einsetze?
> Vlt. hab ich nicht ganz verstanden was eine Abschätzung
> ist.
>
> Verstehe auch nicht ganz was nun die größer/kleiner_ gleich
> Zeichen bedeuten sollen.
>
> Also auf linker seite steht [mm]R_n(x)[/mm] das ist der Fehler oder?
> Auf der rechten Seite steht der Max Fehler? Dann steht da:
> Fehler ist kleiner als max. Fehler?!
>
> Ich verstehe anscheinend nicht worin genau hier meine
> Aufgabe liegt. Ich soll doch den Fehler abschätzen der hier
> durch ersetzen des Taylorplynoms entsteht. Und den rechne
> ich mit der Formel aus. Aber was haben die dann die
> größer/kleiner beziehungen da zu suchen? Kann mir das
> jemand in Worten ein bisschen erläutern?
>
> Wozu brauche ich eine Zwischenstelle [mm]\phi?[/mm]
>
> Grüße
>
> Sub
>
>
Du sollst den Fehler abschätzen, d.h. du sollst z.B. einfach sagen, dass der Fehler kleiner 5 ist. Wenn du die Formel für das Restglied nimmst, dann hast du ja deinen Fehler, aber der ist noch abhängig von dem [mm] \phi [/mm] und deiner Stelle x. Du sollst aber in der Aufgabe sagen, dass im Intervall [2,4] der Fehler maximal ...(irgendwas)... ist. Also schaust du einfach deine Restgliedformel an und guckst, wo im Intervall [2,4] die Formel den größten Fehler liefert. Und dann kannst du sagen, dass im Intervall [2,4] der Fehler eben maximal ..(irgendwas).. ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 12.05.2008 | | Autor: | suburbian2 |
Jetzt hab ichs verstanden :)
danke
grüße
Sub
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