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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 25.08.2010 | | Autor: | janmoda |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
f(x) = sin(3x)
Bestimmen Sie das Talorpolynom 3-ter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \pi. [/mm] Schätzen Sie den Fehler für x = [mm] \bruch{3\pi}{4} [/mm] |
Hallo,
das Aufstellen des Taylorpolynoms 3-ter Ordnung ist kein Problem:
[mm] T_{3}(x) [/mm] = -3(x - [mm] \pi)
[/mm]
Große Probleme hingegen bereitet mir der 2. Teil der Aufgabe - das Abschätzen des Fehlers an genannter Stelle. In der zu der Aufgabe gehörenden fragmentierten Lösung wird hier mit dem Restglied nach Lagrange vorgegangen.
Ich verstehe die Funktion des Restglieds als Ausgleichssummand, der dafür Sorge trägt, dass unser Taylorpolynom 3-ter Ordnung an der Stelle [mm] \bruch{3\pi}{4} [/mm] mit dem exakten Funktionswert übereinstimmt. Die Form des Restglieds wird nun so gewählt, dass der ursprüngliche Anspruch an ein Taylorpolynom, in allen seinen Ableitungen mit den Ableitungen der Ursprungsfunktion übereinstimmt, gewahrt bleibt:
[mm] R_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1} (\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
Kann dieser Auffassung soweit zugestimmt werden?
Allgemein Kann der Betrag des Restgliedes ja als Differenz von Funktionswert der Ursprungsfunktion und Funktionswert des Taylorpolynoms 3-ter Ordnung bestimmt werden oder? In meinem konkreten Fall wäre es dann:
[mm] R_{n} [/mm] = [mm] sin(\bruch{9\pi}{4}) [/mm] - [mm] -3(\bruch{3\pi}{4} [/mm] - [mm] \pi) [/mm] = -1,65
D.h. unser Taylorpolynom 3-ter Ordnung weicht um -1,65 von dem exakten Funktionswert ab. Um den exakten Wert mit dem Taylorpolynom zu erreichen muss das entsprechende Restglied mit dem Wert -1,65 angefügt werden.
Soweit auch noch richtig?
Da ist aber nun allerdings nichts abgeschätzt, wie kommt nun das [mm] \varepsilon [/mm] ins Spiel. Wie bestimmt es sich konkret, wie schätze ich den Fehler mit dem Restglied nach Lagrange ab?
Ich freue mich auf Hilfe und bitte darum von Verweise auf Wikipedia o.Ä. abzusehen - hätten mir diese Seiten weitergeholfen würde ich diesen Beitrag nicht verfassen.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mi 25.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wir betrachten die Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
>
> f(x) = sin(3x)
>
> Bestimmen Sie das Talorpolynom 3-ter Ordnung mit
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\pi.[/mm] Schätzen Sie den Fehler
> für x = [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm]
> Hallo,
>
> das Aufstellen des Taylorpolynoms 3-ter Ordnung ist kein
> Problem:
>
> [mm]T_{3}(x)[/mm] = -3(x - [mm]\pi)[/mm]
Das ist noch nicht [mm] T_3 [/mm] sondern [mm] T_1=T_2
[/mm]
es fehlt der Term mit [mm] (x-\pi)^3
[/mm]
>
> Große Probleme hingegen bereitet mir der 2. Teil der
> Aufgabe - das Abschätzen des Fehlers an genannter Stelle.
> In der zu der Aufgabe gehörenden fragmentierten Lösung
> wird hier mit dem Restglied nach Lagrange vorgegangen.
>
> Ich verstehe die Funktion des Restglieds als
> Ausgleichssummand, der dafür Sorge trägt, dass unser
> Taylorpolynom 3-ter Ordnung an der Stelle [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm]
> mit dem exakten Funktionswert übereinstimmt. Die Form des
> Restglieds wird nun so gewählt, dass der ursprüngliche
> Anspruch an ein Taylorpolynom, in allen seinen Ableitungen
> mit den Ableitungen der Ursprungsfunktion übereinstimmt,
> gewahrt bleibt:
>
> [mm]R_{n}[/mm] = [mm]\bruch{f^{n+1} (\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}[/mm]
>
> Kann dieser Auffassung soweit zugestimmt werden?
Ja, dabei muss aber festgehalten werden, dass man die Stelle [mm] \epsilon [/mm] nicht kennt, das also eine rein theoretische Überlegung ist.
> Allgemein Kann der Betrag des Restgliedes ja als Differenz
> von Funktionswert der Ursprungsfunktion und Funktionswert
> des Taylorpolynoms 3-ter Ordnung bestimmt werden oder? In
> meinem konkreten Fall wäre es dann:
>
> [mm]R_{n}[/mm] = [mm]sin(\bruch{9\pi}{4})[/mm] - [mm]-3(\bruch{3\pi}{4}[/mm] - [mm]\pi)[/mm] =
> -1,65
ich hab nicht nachgerechnet, ob dein numerischer Wert richtig ist.
Das entscheidende ist, dass man tP benutz, eben weil man den "exakten" funktionswert nicht kennt. (dein TR oder computer muss sin(9/4 [mm] \pi) [/mm] ja auch irgendwoher kennen . Bei 9/4 [mm] \pi [/mm] geht das zufllig noch mit phythagoras) aber i.A. kennt man sin(x) an einer Stelle nur, weil der TR oder Computer ein Taylorpolynom (höheren Grades) berechnet.
Du sollst dasselbe hier eben mal nur bis zum 3ten Grad machen.
D.h. man kennt [mm] R_n [/mm] nicht, kann es aber abschätzen, indem man das [mm] \epsilon [/mm] einsetzt, was den größten Wert in dem betrachteten intervall hier zw [mm] \pi [/mm] und [mm] 3/4\pi [/mm] liefert.
> D.h. unser Taylorpolynom 3-ter Ordnung weicht um -1,65 von
> dem exakten Funktionswert ab. Um den exakten Wert mit dem
> Taylorpolynom zu erreichen muss das entsprechende Restglied
> mit dem Wert -1,65 angefügt werden.
>
> Soweit auch noch richtig?
theoretisch ja, praktisch nein.
Das einzusehen ist Leuten, die mit nem TR aufgewachsen sind , der sinx ,cosx [mm] ,e^x [/mm] usw auf Knopfdruck ausrechnet , schwer klar zu machen. aber stell dir vor, du musst nen TR oder Computer programmieren, der sin(x) auf 10 Stellen genau ausrechnet, und weisst von sinx nur die Ableitungsregeln und kennst es an wenigen Stellen (über Phythagoras) genau?
siehe auch eine parallele Frage hier
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 25.08.2010 | | Autor: | janmoda |
Hallo Leduart,
danke für deine Antwort. In der Tat war es mir nicht bewusst, dass ein direkter Vergleich mit dem Funktionswert aus dem TR hinkt. So ganz verständlich ist mir die Fehlerabschätzung deshalb aber immer noch nicht. Wie kann der Fehler abgeschätzt werden, wenn wir den Referenzwert gar nicht kennen? Wie ist die Wahl meines [mm] \varepsilon [/mm] zu treffen? Gibt es hier ein richtig oder falsch?
Das Taylorpolynom 3-ter Ordnung wurde in meiner Vorlesung nicht durch den Exponenten sondern die Anzahl der Summanden definiert - deshalb bricht mein Taylorpolynom früher ab.
Danke dir und Besten Gruß
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> Hallo Leduart,
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> danke für deine Antwort. In der Tat war es mir nicht
> bewusst, dass ein direkter Vergleich mit dem Funktionswert
> aus dem TR hinkt. So ganz verständlich ist mir die
> Fehlerabschätzung deshalb aber immer noch nicht. Wie kann
> der Fehler abgeschätzt werden, wenn wir den Referenzwert
> gar nicht kennen? Wie ist die Wahl meines [mm]\varepsilon[/mm] zu
> treffen? Gibt es hier ein richtig oder falsch?
>
> Das Taylorpolynom 3-ter Ordnung wurde in meiner Vorlesung
> nicht durch den Exponenten sondern die Anzahl der Summanden
> definiert - deshalb bricht mein Taylorpolynom früher ab.
>
> Danke dir und Besten Gruß
>
unsere restglied-definition war folgende:
[mm] |R_{n+1}(x)|\le max_{t \in [x_0;x]}\left|\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}*f^{(n+1)}(t)\right|
[/mm]
also gesucht wurde dann die stelle im zu approximierenden intervall, an denen die n+1 ableitung den höchsten wert hat und somit das restglied am grössten werden kann.
somit dürfte die frage nach dem [mm] \epsilon [/mm] ja auch geklärt sein
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 25.08.2010 | | Autor: | janmoda |
Hallo Tee,
Danke für die Antwort. In meinem Fall würde ich also [mm] \bruch{3\pi}{4} [/mm] einsetzen? Was wir dann erhalten ist der größtmögliche Fehler, stimmt das? Lässt sich die tatsächliche Fehlergröße noch näher einschränken oder muss man sich damit begnügen, zu wissen dass der Fehler nich größer als eben der maximale Wert sein kann?
Danke und besten Gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 25.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, besser als ne Abschätzung geht es nicht. Aber du kannst das nächsthöhere TP nehmen und sehen, wieviele Stellen fest bleiben, das ist ne recht gute, wenn auch nicht exakte Vorgehensweise.
Nochmal, man kennt ja in Wirklichkeit die fkt nicht, und da muss man eben manchmal einen Schritt zuviel machen, um die gewünschte Genauigkeit zu sichern (obwohl sie möglicherweise schon vorher da war, aber eben nicht grantiert.
gruss leduart
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