Residuum bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne möglichst effektiv das Residuum an der angegebenen Stelle von
[mm] f(z)=(\sin{z}-\cos{z})^{-1},\ z_0=\frac{\pi}{4} [/mm] |
Hallo,
ich hänge bei obiger Aufgabe.
Hier das Kurvenintegral zu berechnen ist vermutlich mörderisch. Daher habe ich versucht durch Umformungen irgendetwas "hübsches" zu produzieren. Bin gescheitert.
Dadurch, dass der Term im Nenner steht komme ich auch mit der Potenzreihe nicht wirklich weiter.
Ich würde mich über einen kleinen Hinweis freuen. Ich sehe einfach nicht, mit welcher Methode ich hier weiterkomme.
Vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo Richie1401,
ich bin nicht ganz sicher, aber Folgendes könnte klappen:
> Berechne möglichst effektiv das Residuum an der
> angegebenen Stelle von
>
> [mm]f(z)=(\sin{z}-\cos{z})^{-1},\ z_0=\frac{\pi}{4}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hänge bei obiger Aufgabe.
> Hier das Kurvenintegral zu berechnen ist vermutlich
> mörderisch. Daher habe ich versucht durch Umformungen
> irgendetwas "hübsches" zu produzieren. Bin gescheitert.
>
> Dadurch, dass der Term im Nenner steht komme ich auch mit
> der Potenzreihe nicht wirklich weiter.
>
> Ich würde mich über einen kleinen Hinweis freuen. Ich
> sehe einfach nicht, mit welcher Methode ich hier
> weiterkomme.
Es gibt doch Sätze, wie man in diversen "Spezialfällen" das Residuum berechnet.
Schreibe [mm]f(z)=\frac{1}{\sin(z)-\cos(z)}=\frac{g(z)}{h(z)}[/mm] mit [mm]g(z)=1[/mm] und [mm]h(z)=\sin(z)-\cos(z)[/mm]
Dann ist [mm]g[/mm] in [mm]z_0=\frac{\pi}{4}[/mm] holomorph und [mm]h[/mm] hat in [mm]z_0[/mm] eine Nullstelle 1.Ordnung
Für diesen Fall gilt [mm]\operatorname{Res}_{z_0}\frac{g}{h}=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}[/mm]
Das liefert zumindest das Ergebnis, das Wolframalpha auch ausspuckt ...
>
> Vielen Dank.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
sogar noch knapper: Hat h in [mm]z_0[/mm] eine einfache NST, so ist [mm]\operatorname{Res}_{z_0}(1/h)=1/h'(z_0)=\operatorname{Res}_{z_0}(f)[/mm] mit der Wahl von oben.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Schachu,
es gibt eben auch Menschen, die können nicht einmal eine Ableitung richtig bilden. Offensichtlich bin ich auch so einer.
Ich grübel hier stundenlang herum, hatte auch schon deinen Ansatz verfolgt, und kam dann aber auch [mm] \cos(z)-\sin(z), [/mm] was für [mm] z=\pi/4 [/mm] ebenfalls null ergibt.
Naja, danke jedenfalls für's berichtigen.
...Irgendwie schon peinlich, wenn sowas passiert...
Naja, schieben wir es auf die Hitze...
Liebe Grüße, Danke und schönes Wochenende!
|
|
|
| |
|
Hey,
> Hallo Schachu,
>
> es gibt eben auch Menschen, die können nicht einmal eine
> Ableitung richtig bilden. Offensichtlich bin ich auch so
> einer.
Na, ich hatte das gestern. Konnte nicht einmal zwei ganze Zahlen richtig addieren ...
Passiert halt ...
>
> Ich grübel hier stundenlang herum, hatte auch schon deinen
> Ansatz verfolgt, und kam dann aber auch [mm]\cos(z)-\sin(z),[/mm]
> was für [mm]z=\pi/4[/mm] ebenfalls null ergibt.
>
> Naja, danke jedenfalls für's berichtigen.
>
> ...Irgendwie schon peinlich, wenn sowas passiert...
> Naja, schieben wir es auf die Hitze...
>
> Liebe Grüße, Danke und schönes Wochenende!
Das wünsche ich dir auch!
Bis dann!
LG
schachuzipus
|
|
|
|
