Residuum berechnen, cos(1/z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale auf möglichst einfache Weise:
I = [mm] \integral_{C}^{}{ \bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z} dz}
[/mm]
C : |z| = 2 (im positiven math. Sinn durchlaufen) |
Hi,
Ich möchte das Residuum von $ [mm] \bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z} [/mm] $
berechnen. Singularitäten bei 1 und 0, beide liegen im Gebiet |z|=2
Ich weiß das ich beide in eine Reihe entwickeln kann und dann die Reihen multiplizieren, ich sehe aber nicht wie ich dann das Residuum ablesen kann.
Res(f,1) = -cos(1)
[mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n}
[/mm]
[mm] cos(\bruch{1}{z}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-2n}
[/mm]
multiplikation der reihen ergibt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-n}
[/mm]
jetzt wäre ja das Glied bei n = -1 mein Residuum
[mm] a_{-1}=\bruch{(-1)^{-1}}{-2!}x^{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
ich würde nun davon ausgehen das Res(f,0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist..stimmt aber nicht, könnt ihr mir bitte meinen Fehler erklären
Vielen dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dingo2000,
> Berechnen Sie die folgenden Integrale auf möglichst
> einfache Weise:
> I = [mm]\integral_{C}^{}{ \bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z} dz}[/mm]
>
> C : |z| = 2 (im positiven math. Sinn durchlaufen)
> Hi,
> Ich möchte das Residuum von
> [mm]\bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z}[/mm]
> berechnen. Singularitäten bei 1 und 0, beide liegen im
> Gebiet |z|=2
> Ich weiß das ich beide in eine Reihe entwickeln kann und
> dann die Reihen multiplizieren, ich sehe aber nicht wie ich
> dann das Residuum ablesen kann.
> Res(f,1) = -cos(1)
>
> [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{1}{z})[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-2n}[/mm]
>
> multiplikation der reihen ergibt
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-n}[/mm]
>
> jetzt wäre ja das Glied bei n = -1 mein Residuum
>
> [mm]a_{-1}=\bruch{(-1)^{-1}}{-2!}x^{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> ich würde nun davon ausgehen das Res(f,0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ist..stimmt aber nicht, könnt ihr mir bitte meinen Fehler
> erklären
Untersuche ob es ein kleinstes [mm]m\in \IN[/mm], so daß das Produkt
[mm]\left(z-c\right)^{m}*\bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z}[/mm]
für die Singularität c beschränkt bleibt.
> Vielen dank im voraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich verstehe nicht so richtig was du meinst. Wie soll ich denn raus finden wo das Produkt für die Singularität beschränkt bleibt ?
Denke die Singularität ist das [mm] a_{-1} [/mm] Glied der Laurentreihe?
stimmt das so wie ich das angefangen habe ?
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Hallo dingo2000,
> Ich verstehe nicht so richtig was du meinst. Wie soll ich
> denn raus finden wo das Produkt für die Singularität
> beschränkt bleibt ?
Ausrechnen.
> Denke die Singularität ist das [mm]a_{-1}[/mm] Glied der
> Laurentreihe?
Ja, das ist richtig.
> stimmt das so wie ich das angefangen habe ?
Wenn Du schon zwei Reihen miteinander multipliziert,
dann musst Du das mit Hilfe des ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktes tun.
Gruss
MathePower
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Ich schaue mir jetzt einfach die Glieder der beiden Reihen an und suche mir nur die passenden raus, welche [mm] a_{-1} [/mm] ergeben.
so komme ich dann auf
[mm] (-\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{4!})
[/mm]
das entspricht einer Entwicklung des cosinus um 1 so komme ich dann auf das Endresultat
Res(f,0) = cos(1)-1
stimmts ?
wie funktioniert jetzt deine andere Methode?
die Schranken von cosinus sollten ja 1 und -1 sein
ich versteh aber nicht was das jetzt mit deiner Formel auf sich hat..
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Hallo dingo2000,
> Ich schaue mir jetzt einfach die Glieder der beiden Reihen
> an und suche mir nur die passenden raus, welche [mm]a_{-1}[/mm]
> ergeben.
> so komme ich dann auf
> [mm](-\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{4!})[/mm]
> das entspricht einer Entwicklung des cosinus um 1 so komme
> ich dann auf das Endresultat
> Res(f,0) = cos(1)-1
> stimmts ?
Die Laurentreihe von f(z) um z=1 fängt doch so an:
[mm]\bruch{1}{1-z}*\left(cos(1)+sin(1)*(z-1)-\bruch{cos(1)+2*sin(1)}{2}*(z-1)^2+ \ ...\right)[/mm]
Insofern is t [mm]a_{-1}=-\cos\left(1\right)[/mm]
> wie funktioniert jetzt deine andere Methode?
> die Schranken von cosinus sollten ja 1 und -1 sein
> ich versteh aber nicht was das jetzt mit deiner Formel auf
> sich hat..
Berechne
[mm]\operatorname_{res}_{1}\left(f\right)=\limes_{z \rightarrow 1}{\left(z-1\right)*f\left(z\right)}[/mm]
, da [mm]f\left(z\right)[/mm] an der Stelle z=1 einen Pol 1.Ordnung hat.
[mm]\operatorname_{res}_{1}\left(f\right)[/mm] ist das Residuum.
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Berechnen Sie die folgenden Integrale auf möglichst
> einfache Weise:
> I = [mm]\integral_{C}^{}{ \bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z} dz}[/mm]
>
> C : |z| = 2 (im positiven math. Sinn durchlaufen)
> Hi,
> Ich möchte das Residuum von
> [mm]\bruch{cos(\bruch{1}{z})}{1-z}[/mm]
> berechnen. Singularitäten bei 1 und 0, beide liegen im
> Gebiet |z|=2
> Ich weiß das ich beide in eine Reihe entwickeln kann und
> dann die Reihen multiplizieren, ich sehe aber nicht wie ich
> dann das Residuum ablesen kann.
> Res(f,1) = -cos(1)
>
> [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{1}{z})[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-2n}[/mm]
>
> multiplikation der reihen ergibt
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{-n}[/mm]
Der Fehler ist, dass das nicht das Produkt der beiden Reihen ist.
Du darfst doch nicht einfach die Reihenglieder multiplizieren!
Nutze das Cauchy-Produkt.
Weil das blöd auszurechnen ist, schlägt dir MathePower vermutlich den anderen Weg vor.
Viele Grüße,
Stefan
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