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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Brechnen Sie mit Hilfe des Residuensatz das folgende Integral:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der positiv orientierte Rand des Kreises um 0 mit Radius 1 ist. |
Hallo.
Leider schaffe ich es nicht diese Aufgabe zu lösen.
Zuerst einmal weiß ich, dass folgendes gilt:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz}=2*i*\pi*\summe_{Polstellen innerhalb des Kreises}u(\gamma,z_0)*Res(f,z_0)
[/mm]
Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, also alle Vielfachen von [mm] \pi.
[/mm]
Jedoch liegt nur die 0 innerhalb des Kreises. Außerdem wir diese Polstelle einmal gegen den Uhrzeigersinn "umrundet" => [mm] u(\gamma,0)=0
[/mm]
=> [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz}=2*i*\pi*Res(f,0)
[/mm]
Als nächstes muss also Res(f,0) berechnet werden, und hier hab ich mein Porblem.
Nachdem 0 eine doppelte Nullstelle ist muss das Residuum wie folgt berechnet werden:
[mm] Res(f,0)=\bruch{1}{(2-1)!}\limes_{z\rightarrow0}\bruch{\partial^{2-1}}{\partial*z^{2-1}}((z-0)^2*f(z))=\limes_{z\rightarrow0}\bruch{\partial}{\partial*z}(z^2*\bruch{1}{sin^2(x)})
[/mm]
Wenn ich das dann Ableite komme ich allerdings auf ein extrem unschönes Ergebnis und weiß überhaupt nicht mehr wie ich jetzt weiter machen soll:
[mm] =\limes_{z\rightarrow0}\bruch{2z}{sin²(z)}-z²cot(z)csc^2(z)
[/mm]
Was ich noch weiß ist: [mm] csc(x)=\bruch{1}{sin(x)}, [/mm] bringt mich aber nicht wirklich weiter.
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Hallo xtraxtra,
> Brechnen Sie mit Hilfe des Residuensatz das folgende
> Integral:
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz},[/mm] wobei [mm]\gamma[/mm]
> der positiv orientierte Rand des Kreises um 0 mit Radius 1
> ist.
> Hallo.
> Leider schaffe ich es nicht diese Aufgabe zu lösen.
> Zuerst einmal weiß ich, dass folgendes gilt:
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz}=2*i*\pi*\summe_{Polstellen innerhalb des Kreises}u(\gamma,z_0)*Res(f,z_0)[/mm]
>
> Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, also alle
> Vielfachen von [mm]\pi.[/mm]
> Jedoch liegt nur die 0 innerhalb des Kreises. Außerdem
> wir diese Polstelle einmal gegen den Uhrzeigersinn
> "umrundet" => [mm]u(\gamma,0)=0[/mm]
> => [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{sin^2(z)} dz}=2*i*\pi*Res(f,0)[/mm]
>
> Als nächstes muss also Res(f,0) berechnet werden, und hier
> hab ich mein Porblem.
> Nachdem 0 eine doppelte Nullstelle ist muss das Residuum
> wie folgt berechnet werden:
> [mm]Res(f,0)=\bruch{1}{(2-1)!}\limes_{z\rightarrow0}\bruch{\partial^{2-1}}{\partial*z^{2-1}}((z-0)^2*f(z))=\limes_{z\rightarrow0}\bruch{\partial}{\partial*z}(z^2*\bruch{1}{sin^2(x)})[/mm]
>
> Wenn ich das dann Ableite komme ich allerdings auf ein
> extrem unschönes Ergebnis und weiß überhaupt nicht mehr
> wie ich jetzt weiter machen soll:
> [mm]=\limes_{z\rightarrow0}\bruch{2z}{sin²(z)}-z²cot(z)csc^2(z)[/mm]
> Was ich noch weiß ist: [mm]csc(x)=\bruch{1}{sin(x)},[/mm] bringt
> mich aber nicht wirklich weiter.
Bringe diesen Ausdruck auf einen Bruchstrich.
Dann kannst für den Zähler und den Nenner
die entsprechenden Taylorreihen einsetzen.
Und so den Grenzwert bilden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Ich habe ja dann jetzt: [mm] \bruch{2z*sin(z)-zcot(z)}{sin^2(z)}
[/mm]
Tut mir leid, aber irgendwie bringt mich das nicht wirklich weiter. Wenn ich die Taylorreihen einsetzte schaut das furchtbar kompliziert aus, und ich weiß trotzdem nicht, wie ich hier den Grenzwert berechnen soll.
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Hallo xtraxtra,
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> Ich habe ja dann jetzt:
> [mm]\bruch{2z*sin(z)-zcot(z)}{sin^2(z)}[/mm]
>
Das sieht doch zunächst so aus:
[mm]\[\frac{2\,z\,\mathrm{sin}\left( z\right) -2\,{z}^{2}\,\mathrm{cos}\left( z\right) }{{\mathrm{sin}\left( z\right) }^{3}}\][/mm]
> Tut mir leid, aber irgendwie bringt mich das nicht wirklich
> weiter. Wenn ich die Taylorreihen einsetzte schaut das
> furchtbar kompliziert aus, und ich weiß trotzdem nicht,
> wie ich hier den Grenzwert berechnen soll.
Setze am besten die Potenzreihen für Sinus und Cosinus ein.
Klammere dann im Zähler als auch Nenner die Anfangspotenz aus
und lasse dann z gegen 0 laufen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Ok. Entschuldige bitte die falsche Ableitung.
Was meinst du mit Anfangspotenz?
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Hallo xtraxtra,
> Ok. Entschuldige bitte die falsche Ableitung.
> Was meinst du mit Anfangspotenz?
Ich meine damit diejenige Potenz mit der die Reihe beginnt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Reihen sind leider echt nicht meine Stärke, deshalb nochmal eine vielleicht dumme Nachfrage:
also ich habe jetzt (den Limes lass ich jetzt mal weg):
[mm] \bruch{zsin(z)-2z^2cos(z)}{sin^3(z)}=
[/mm]
[mm] \bruch{z*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}-2z^2*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!})^3}=
[/mm]
[mm] \bruch{z*z*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}-2z^2*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{z^3(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!})^3}=
[/mm]
[mm] \bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}-2\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{z(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!})^3}
[/mm]
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Hallo xtraxtra,
> Reihen sind leider echt nicht meine Stärke, deshalb
> nochmal eine vielleicht dumme Nachfrage:
> also ich habe jetzt (den Limes lass ich jetzt mal weg):
> [mm]\bruch{zsin(z)-2z^2cos(z)}{sin^3(z)}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{z*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}-2z^2*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!})^3}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{z*z*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}-2z^2*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{z^3(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!})^3}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}-2\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{2n!}}{z(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!})^3}[/mm]
>
In Reihen sieht das dann so aus:
[mm]\[\frac{2\,z\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}\right) -2\,{z}^{2}\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n\right) !}}{\frac{3\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}-\frac{\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{3}^{2\,n+1}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}}\][/mm]
Hier sieht man doch, dass im Zähler die Reihe mit der Potenz 2 beginnt,
während sie im Nenner mit der Potenz 1 beginnt.
Demnach ist der Grenzwert für z gegen 0 ebenfalls ... .
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
> In Reihen sieht das dann so aus:
>
> [mm]\[\frac{2\,z\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}\right) -2\,{z}^{2}\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n\right) !}}{\frac{3\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}-\frac{\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{3}^{2\,n+1}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}}\][/mm]
Wieso steht die 2 gleich zu Beginn des Zählers? Ist das ein Tippfehler?
Wie kommst du auf den Nenner?
> Hier sieht man doch, dass im Zähler die Reihe mit der
> Potenz 2 beginnt,
> während sie im Nenner mit der Potenz 1 beginnt.
Ohman, ich komm mir ja jetzt schon bissl doof vor: Aber leider seh ichs nicht.
> Demnach ist der Grenzwert für z gegen 0 ebenfalls ... .
>
>
> Gruss
> MathePower
>
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Hallo xtraxtra,
>
> > In Reihen sieht das dann so aus:
> >
> > [mm]\[\frac{2\,z\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}\right) -2\,{z}^{2}\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n\right) !}}{\frac{3\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}-\frac{\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{3}^{2\,n+1}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}}\][/mm]
>
> Wieso steht die 2 gleich zu Beginn des Zählers? Ist das
> ein Tippfehler?
>
> Wie kommst du auf den Nenner?
>
Ich hab das mit dem CAS-Programm Maxima gerechnet.
>
> > Hier sieht man doch, dass im Zähler die Reihe mit der
> > Potenz 2 beginnt,
> > während sie im Nenner mit der Potenz 1 beginnt.
>
> Ohman, ich komm mir ja jetzt schon bissl doof vor: Aber
> leider seh ichs nicht.
Betrachte die Potenzen mit welchen die Summen beginnnen.
>
> > Demnach ist der Grenzwert für z gegen 0 ebenfalls ... .
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Die Summen im Zähler beginnen mit [mm] z^1 [/mm] und [mm] z^0
[/mm]
und die im Nenner beider [mm] z^1.
[/mm]
Ich glaube jetzt weiß ich was du meinst.
$ [mm] \[\frac{2\,z^2\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n+1\right) !}\right) -2\,{z}^{2}\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n\right) !}}{\frac{3z\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}-\frac{z\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{3}^{2\,n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}}\] [/mm] $
=> die Zählerpotenz ist immer 1 Größer als die Nennerpotenz => Zähler geht schneller gegen 0 als Nenner => Grenzwert ist 0.
Richtig?
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Hallo xtraxtra,
> Die Summen im Zähler beginnen mit [mm]z^1[/mm] und [mm]z^0[/mm]
> und die im Nenner beider [mm]z^1.[/mm]
>
> Ich glaube jetzt weiß ich was du meinst.
> [mm]\[\frac{2\,z^2\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n+1\right) !}\right) -2\,{z}^{2}\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n\right) !}}{\frac{3z\,\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{z}^{2\,n}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}-\frac{z\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}\,{3}^{2\,n}\,{z}^{2\,n+1}}{\left( 2\,n+1\right) !}}{4}}\][/mm]
>
> => die Zählerpotenz ist immer 1 Größer als die
> Nennerpotenz => Zähler geht schneller gegen 0 als Nenner
> => Grenzwert ist 0.
> Richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Schwierige Geburt. Vielen Dank!
Eine Lösungsidee ohne CAS-Programm hast du nicht, oder?
Weil die gestellte Aufgabe ist aus einer alten Klausur, und PCs waren als Hilfsmittel nicht erlaubt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 11.07.2013 | | Autor: | MathePower |
Hallo xtraxtra,
> Schwierige Geburt. Vielen Dank!
>
> Eine Lösungsidee ohne CAS-Programm hast du nicht, oder?
> Weil die gestellte Aufgabe ist aus einer alten Klausur,
> und PCs waren als Hilfsmittel nicht erlaubt.
Alternative ist L'Hospital solange anzuwenden,
bis ein bestimmer Ausdruck entsteht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Schwierige Geburt. Vielen Dank!
Eine Lösungsidee ohne CAS-Programm hast du nicht, oder?
Weil die gestellte Aufgabe ist aus einer alten Klausur, und PCs waren als Hilfsmittel nicht erlaubt.
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Hallo xtraxtra,
> Schwierige Geburt. Vielen Dank!
>
> Eine Lösungsidee ohne CAS-Programm hast du nicht, oder?
> Weil die gestellte Aufgabe ist aus einer alten Klausur, und
> PCs waren als Hilfsmittel nicht erlaubt.
Alternative ist L'Hospital solange anzuwenden,
bis ein bestimmer Ausdruck entsteht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Do 11.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Perfekt, danke. 3 mal L'Hospital ergab die Lösung ;)
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