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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes
[mm] \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{6z^2-4z+1}{(z-2)*(4z^2+1)}} [/mm] |
Hallo,
ich soll obiges Kurvenintegral lösen.
Die Idee wäre wieder:
-Partialbruchzerlegung
-Residuen ausrechnen
-da |z|=1 wird über einen Einheitskreis mit dem Radius 1 integriert
d.h. nicht alle Residuen zulässig
hier mein Rechenweg:
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111204_0934562822v.jpg]
Leider kann ich mein Ergebnis nicht überprüfen. Kann mir vl. jemand beim Finden der Lösung helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 So 04.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine "Partialbruchzerlegung" stimmt nicht und ist auch völlig überflüssig.
Wie Du die Residuen ausgerechnet hast seh ich nicht.
Nennen die Fkt. unterm Integral f, so ist
Integral= $2 [mm] \pi [/mm] i(res(f,i/2)+res(f, -i/2))$
FRED
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Hallo,
zum Ausrechnen der Residuen habe ich einfach den Zähler stehen gelassen, den Nenner abgeleitet und die NST für z eingesetzt...
Ich weiss, dass das [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=2*\pi*i\summe_{i=1}^{n}Res_i
[/mm]
Die NST sind 2 -1/2i, 1/2i. 2 Fällt aus der definition
Ohne meien falsche PBZ komme ich auf [mm] \pi*i [/mm] als Endergebnis
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Hallo DoubleHelix,
> Hallo,
> zum Ausrechnen der Residuen habe ich einfach den Zähler
> stehen gelassen, den Nenner abgeleitet und die NST für z
> eingesetzt...
>
Das ist nicht richtig.
Da hier alle Nullstellen einfach vorkommen,
mußt Du das Residuum wie folgt berechnen:
[mm]\limes_ {z \to -\bruch{i}{2}}{\left(z-\left(-\bruch{i}{2\right) \right)*\[\frac{6\,{z}^{2}-4\,z+1}{\left( z-2\right) \,\left( 4\,{z}^{2}+1\right) }\]}[/mm]
und
[mm]\limes_ {z \to \bruch{i}{2}}{\left(z-\left(\bruch{i}{2\right) \right)*\[\frac{6\,{z}^{2}-4\,z+1}{\left( z-2\right) \,\left( 4\,{z}^{2}+1\right) }\]}[/mm]
> Ich weiss, dass das [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=2*\pi*i\summe_{i=1}^{n}Res_i[/mm]
>
> Die NST sind 2 -1/2i, 1/2i. 2 Fällt aus der definition
> Ohne meien falsche PBZ komme ich auf [mm]\pi*i[/mm] als Endergebnis
Gruss
MathePower
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![[]](http://www.abload.de/image.php?img=img_20111204_0934562822v.jpg){kind=small}
[Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111204_0934562822v.jpg]